【POJ】2142 The Balance 数论（扩展欧几里得算法）

【题意】给定a,b,c，在天平左边放置若干重量a的砝码，在天平右边放置若干重量b的砝码，使得天平两端砝码差为c。设放置x个A砝码和y个B砝码，求x+y的最小值。

【算法】数论（扩展欧几里德算法）

【题解】问题转化为求满足方程ax+by=c，|x|+|y|的最小值。

先用扩展欧几里得算法求得通解。

由原方程得答案分布在y=-a/b*x+c/b（a>0,b>0,c>0），因此是k<0,b>0的直线。

由于斜率一定，min{|x|+|y|}一定出现在x轴两侧或y轴两侧，取这四个点判断一下即可。

#include<cstdio>
int ansx,ansy,ans;
int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(!b){x=1;y=0;}else{exgcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);}
}
void s(int x,int y){
if(x<0)x=-x;if(y<0)y=-y;
if(x+y<ans){
ans=x+y;
ansx=x;ansy=y;
}
}
int main(){
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
while(a||b||c){
int g=gcd(a,b),x,y,X,Y;
a/=g;b/=g;c/=g;
exgcd(a,b,x,y);
ans=0x3f3f3f3f;
X=(x*c%b+b)%b;Y=(c*g-a*g*X)/(b*g);s(X,Y);
X-=b;Y+=a;s(X,Y);
Y=(y*c%a+a)%a;X=(c*g-b*g*Y)/(a*g);s(X,Y);
Y-=b;X+=a;s(X,Y);
printf("%d %d\n",ansx,ansy);
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
}
return 0;
}

由于此题数据比较弱，所以网上很多题解都是最小非负x和y，反例：1 10 29。