概率分布基本概念，符号表示法 (概统2.符号)

概率分布基本概念，符号表示法 (概统2.符号)

前面一章，我们计算某事件某结果的概率，会用P(A), P(B),或者P(A1),P(B1)来表达

对于条件概率，我们会用P(A|Bj)P(A|Bj)来表达BjBj条件下发生A结果的概率

本章中，我们关注事件发生的所有可能结果，会将括号内的A，B等符号用一个表达式来表示，

1) 对离散型随机变量， P{X=k}或者P{X=xixi }，叫做[b]分布律。[/b]

X为事件的随机结果，k或者xixi为X的某个具体取值。

比如说射击n次，射中次数是一个0到n的随机数，用X表示，如果要表示射中次数为1次的概率，k取1，P{X=1}就表示射中次数等于1的概率。

2) 对离散型随机变量， F(X) = P{a< X<=b } = ∑<=bi>api∑i>a<=bpi ，叫做[b]分布函数, 它表示某个区间内的概率总和。[/b]

如果要表达射中次数在某个范围内，比如要表达射中次数小于等于3次的概率，用P{X<=3}，如果要表达射中次数在2次到4次，用P{2< X< 4};

F(X) = P{X<=xixi} = ∑i<=xipi∑i<=xipi

或者F(X) = P{a< X<=b } = ∑<=bi>api∑i>a<=bpi ，

X为事件的随机结果，

xixi , 或者a, b 表示随机结果的取值范围，

F(X), 或者 P{X<=xixi} ,或者 P{a< X<=b } 表示在这段取值范围内的概率总和。叫做分布函数。

[举例] 事件 : 射击n次

随机变量X/射中次数	0	1	2	….	n
概率 P/射中次数的概率	p0p0	p1p1	p2p2	…	pnpn

还是射击n次的例子，假设要表示射中次数大于1次，小于等于3次，就取a=1，b=3，F(x) = P{1< X<=3 } 就表示射中次数在1到3之间的分布函数，也就是1到3（包含3）的概率总和。

同理 F(x) = P{X<=3}表示射中次数小于等于3的所有概率总和，也是分布函数。

3) 连续型随机变量在某个点的概率，用[b]概率密度f(x) 来表示。[/b]

对于连续型随机变量，比如数据样本量大的事件，可以近似看成连续型随机事件，对应于分布律，用概率密度 f(x)来表示某一点的概率，f(x)为0到1之间的概率数，f(x)的所有积分等于1

0<= f(x)<= 1

∫∞−∞f(x)dx=1∫−∞∞f(x)dx=1

4) 连续型随机变量,在某一区间段内的概率积分F(X) 叫做[b]分布函数，[/b]

F(X) = P{X<=x}= ∫x−∞f(x)dx∫−∞xf(x)dx

F(X) = P{a< X<=b}= ∫baf(x)dx∫abf(x)dx

[举例] 事件 : 成年人身高

比如成年人，身高在140cm到190cm(包含)的概率分布，可以用

F(X) = P(140< X<= 190) = ∫190140f(x)dx∫140190f(x)dx

[提一个问题]

离散型的分布律，连续型的概率密度都好理解，就是不同的取值对应不同的概率，

但是，为什么分布函数要用求和（离散型）或者求积分（连续型）的方式呢？

这是因为实际情况中，求概率往往不是只求一个点的概率，而是求一个连续区间段内的概率，而且只有离散型随机变量，单个点的概率才有意义，在连续型随机变量中，单个点的概率近似为0，只有一个区间的概率有意义，为了计算某个区间段内的概率更方便，将分布函数定义为概率累积，其实这就是前面博文写过的轮盘赌算法。

例如 ， 经常需要计算 位于某段区间的概率，P{a< X <= b} ，

如果分布函数是概率累计，那么 P{a< X <= b} = F(b) - F(a)

分布函数（轮盘赌）的算法，就是把所有概率都整合到一条 [0,1]的直线上的算法。

参考【算法实例】—清扫机器人罗比与遗传算法，轮盘赌算法

在遗传循环中，选择上一代优秀个体中，就是使用轮盘赌算法。将所有的个体计算各自得分比率，然后整合到一条[0,1]的直线上。

1. 问题关注点：所有结果的概率分布**

在前面一章中，我们关注了某个概率性事件出现某个特定结果的概率。比如说：

射击，连续射击4次，恰好击中1次的概率。

射击，连续射击n次，恰好击中k次的概率。

次品问题，从几箱次品成份不同的产品箱中任取一箱中的任意n只，取到1件次品的概率，取到2件次品的概率。

配对问题，n双完全不同的手套（n双里面没有一双是相同的），任取2r只，取了以后完全没有成对的概率是多少？有一双成对的概率是多少？有两双成对的概率是多少？

乱序问题，n把锁n把钥匙完全乱序，现将锁和钥匙随机配对，有1把锁和钥匙能配对的概率是多少？有2把锁和钥匙能配对的概率是多少？

这些，都是求概率事件某个特定结果的概率。但是在现实需求中，在大数据的环境下，我们更多需要关注概率事件所有可能取值结果的规律，可能需要分析所有的取值结果，每一种取值结果对应的概率。

比如，还是前面那几个问题，我们需要关注：

射击，连续射击4次，有可能击中0次，也有可能击中1次，也有可能击中2次，3次，最多击中4次。我们需要分析，击中0次的概率是多少？击中1次的概率是多少？击中2次，3次，4次的概率是多少？

射击，连续射击n次，有可能击中0次到n次，我们需要分析，击中0次到n次，出现每个每个结果的概率。

次品问题，从几箱次品成份不同的产品箱中任取一箱中的任意n只，根据次品率的不同，有可能取到0件次品，1件次品，2件，..n件，我们需要分析所有结果，从0件次品到n件次品，每个结果对应的的概率 。

配对问题，n双完全不同的手套（n双里面没有一双是相同的），任取2r只，取了以后能够配对的手套有可能是0双，有可能是1双，，，也有可能r双， 我们需要分析，从0双到r双每个结果对应的概率是多少？

乱序问题，n把锁n把钥匙完全乱序，现将锁和钥匙随机配对，有可能完全没有锁和钥匙能配对，也有可能有1把锁和钥匙能配对，也有可能有2把能配对，，，，直到有n把能配对，我们需要分析所有的结果，每一种结果对应的概率是多少？

上一节中，我们还关注了条件概率，已知某个事件的某个结果已经发生，例如3箱次品率不同的产品箱子，随机取样，已经取到一件是次品，求它是来自A箱的概率。A，B，C三人同时射击敌机，已知敌机已经被击落，求它是A击中的概率。等等，这些是条件概率的问题，已知结果，求发生的原因的概率。

2. 符号表达**

前面我们学到， P(A)，表示对于某个概率事件，结果为A的概率

条件概率 P(A|Bj)P(A|Bj)，表示BjBj条件下发生A结果的概率。

比如，射击，连续射击n次，恰好击中1次的概率，我们可以用P(A)来表示，但是，考虑到符号资源的紧张性，也可以用P(A1)来表示。那么击中2次的概率呢？也可以用P(B)来表示，也可以用P(A2)来表示，同理，击中n次，也可以用P(An)来表示，那么如果击中次数少于等于k次呢？怎么表示？这时，我们需要定义一个变量，比如X，击中次数少于m次就是X<=k，那么击中次数少于等于k次的概率表达就是P{X<=k}，相当于将括号内的A，换成一个表达式X<=k。同理，击中次数等于k的概率，可以表示成P{X=k}，在这里X是射击事件发生的某个结果，是一个随机变量，X是一个随机变量，k是随机变量的某一个取值。

1）.对于离散型随机变量来说，

P{X=k} = pkpk ，k=0,1,2…n

称为X的分布律（随机变量X的概率分布规律）

P{X<=k} = ∑pk∑pk , 称为离散型随机变量的分布函数

F(X) = P{X<=xixi} = ∑pi∑pi , F(X) 称为离散型随机变量的分布函数

2）.对于连续型随机变量，比如数据样本量大的事件，可以近似看成连续型随机事件，

对应于分布律，用概率密度 f(x)来表示某一点的概率，

0⩽f(x)⩽1;∫∞−∞f(x)dx=10⩽f(x)⩽1;∫−∞∞f(x)dx=1

某一区间段内的概率总和叫做分布函数，F(X) = P{X<=x}= ∫x−∞f(x)dx∫−∞xf(x)dx

P(a< X<= b) = F(b)-F(a) ，某个区间段内的概率，等于分布函数的上限-下限

连续型的分布函数也经常用 Φ(x)Φ(x)来表示，比如正态分布