离散数学 03.03 谓词公式的等价关系和蕴涵关系

§3.3谓词公式的等价关系和蕴涵关系

3.3.1公式的等价和蕴涵

定义3.3.1.公式G，H称为等价，记以G=H，如果公式G↔H是恒真的。

公式G，H等价的充要条件是：对G、H的任意解释I，G、H在I下的真值相同。

因为对任意公式G、H，在解释I下，G、H就是两个命题，所以命题逻辑中给出的10组合基本等价式，在谓词逻辑中仍然成立。

定义3.3.2.设G，H是公式，称G蕴涵H，或H是G的逻辑结果，如果公式G→H是恒真的，并记以G⇒H

对任意两个公式G、H，G蕴涵H的充要条件是：对任意解释I，若I满足G，则I必满足H。同样，命题逻辑中的14组基本蕴涵式仍成立。

下面研究三段论：

令G 1 =∀x(H(x)→M(x))G 2 =H(a),H=M(a)将证明H是G 1 ∧G 2 的逻辑结果。因为，设I是G 1 ,G 2 ,H的一个解释(I指定a为张三)，且I满足G 1 ∧G 2 ,即I满足∀x(H(x)→M(x))∧H(a)所以，I满足M(a)。否则，令M(a)在I下为假，而H(a)在I下为真，于是H(a)→M(a)在I下为假，故∀x(H(x)→M(x))在I下为假，矛盾。故M(a)在I下为真命题，而I指定a为“张三”，故M(张三)为真命题。

由于谓词逻辑中的恒真(恒假)公式，要求所有解释I都满足(弄假)该公式。而解释I依赖于一个非空集合D。由于集合D可以是无穷集合，而集合D的“数目”也可能是无穷多个，因此，所谓的“所有”解释，实际上是无法考虑的。这就使得谓词逻辑中公式的恒真，恒假性的判断变得异常困难。1936年Church和Turing分别独立地证明了：对于谓词逻辑，判定问题是不可解的。幸好，谓词逻辑是半可判定的，亦即，如果谓词逻辑中的公式是恒真的，则有算法有限步之内检验出这个公式的恒真性。如果该公式不是恒真的(当然也不是恒假的)，则无法在有限步内判定这个事实。从Thurch和Turing的结果看，这也许是我们所能期望的最好结果。