离散数学 03.01 谓词逻辑的基本概念

第三章谓词逻辑

§3.1谓词逻辑的基本概念

3.1.1谓词和量词

命题逻辑研究的基本元素是命题。命题是有真假意义的一句话，而对这句话的结构和成分是不考虑的。因此，用这样简单的手段，很多思维不能在命题逻辑中表达出来。

例如，逻辑学中著名的三段论：

凡人必死

张三是人

张三必死

在命题逻辑中就无法表示这种推理过程。

因此，如果用P代表“凡人必死”这个命题，Q代表“张三是人”这个命题，R代表“张三必死”这个命题，则按照三段论，R应该是P和Q的逻辑结果。但是，在命题逻辑中，R却不是P和Q的逻辑结果，因为公式P∧Q→R显然不是恒真的，解释{P,Q,¬R}就能弄假上面的公式。

发生这种情况的原因是：命题逻辑中描述出来的三段论，记P∧Q→R,使R成为一个与P，Q无关的独立命题。因此，取解释时，可将P，Q取真，R取假，从而弄假公式P∧Q→R。但是，实际上命题R是和命题P，Q有关系的，只是这种关系在命题逻辑中无法表示。因此，对命题的成分、结构和命题的共同特性等需要做进一步的分析，这正是谓词逻辑所要研究的问题。为了表示出这三个命题的内在关系，我们需要引进谓词的概念。在谓词演算中，可将命题分解为谓词与个体两部分。例如，在前面的例子“张三是人”中的“是人”是谓语，称为谓词，“张三”是主语，称为个体。

定义3.1.1.可以独立存在的物体称为个体。(它可以是抽象的，也可以是具体的。)

如人、学生、桌子、自然数等都是以做个体。在谓词演算中，个体通常在一个命题里表示思维对象。

定义3.1.2.设D是非空个体名称集合，定义在D n 上取值于{1,0}上的n元函数，称为n元命题函数或n元谓词。其中D n 表示集合D的n次笛卡儿积。一般地，一元谓词描述个体的性质，二元或多元谓词描述两个或多个个体间的关系。0元谓词中无个体，理解为就是命题。这样，谓词逻辑包括命题逻辑。

于是，用谓词的概念可将三段论做如下的符号化：令H(x)表示：“x是人”，M(x)表示：“x必死”。则三段论的三个命题表示如下：P：H(x)→M(x)Q：H(张三)R：M(张三)那么，在命题逻辑的基础上，仅仅引进谓词的概念是否就可以了呢？下面的例子说明，仅有谓词还是不够的。例如我们想到“命题”P的否定“命题”，应该就是“命题”¬P。但是，¬P=¬(H(x)→M(x))=¬(¬H(x)∨M(x))=H(x)∧¬M(x)

亦即，“命题”P的否定“命题”是“所有人都不死”。这和人们日常对命题“所有人都必死”的否定的理解，相差的实在太远了。其原因在于，命题P的确切意思应该是：“对任意x，如果x是人，则x必死”。但是，H(x)→M(x)中并没有确切的表示出“对任意x”这个意思，亦即H(x)→M(x)不是一个命题。因此，在谓词逻辑中除引进谓词外，还需引进“对任意x”这个语句，及其对偶的语句“存在一个x”。

定义3.1.3.语句“对任意x”称为全称量词，记以∀x;语句“存在一个x”称为存在量词，记以∃x。

这时，命题P就是可确切地符号化如下：∀x(H(x)→M(x))命题P的否定命题为：¬P=¬(∀x(H(x)→M(x)))=∃x(H(x)∧¬M(x))亦即“有一个人是不死的”。这个命题确实是“所有人都要死”的否定。

有了谓词和量词的概念，就可以建立起谓词逻辑了。三段论的三个命题，在谓词逻辑中是如下这样表示的：P:∀x(H(x)→M(x))Q:H(张三)R:M(张三)以后可以证明：在谓词逻辑中，R是P和Q的逻辑结果。

设G(x)是一元谓词，任取x 0 ∈D,则G(x 0 )是一个命题。于是∀xG(x)是这样一个命题“对任意x∈D,都有G(x)”。故对于命题∀xG(x)的真值做如下规定是自然的。∀xG(x)取1值⟺对任意x∈D,G(x)都取1值；∀xG(x)取0值⟺有一个x 0 ∈D,使G(x 0 )取0值。类似地，∃xG(x)是命题“存在一个x 0 ∈D，使得G(x 0 )成立”。对命题∃xG(x)的真值规定如下：∃xG(x)取1值⟺有一个x 0 ∈D,使G(x 0 )取1值；∃xG(x)取0值⟺有一个x 0 ∈D,使G(x 0 )取0值。

对于一个谓词，如果其中每一个变量都在一个量词作用之下。则它就不再是命题函数，而是一个命题了。但是，这种命题和命题逻辑中的命题毕竟有所不同。因为终归这种命题里还有变量，当然这种变量和命题函数中的变量还有区别。因此，使用量词时应注意以下几个问题：1.量词的论域，记D中都有那些元；2.在多重量词时，应注意量词的顺序；3.量词的作用域。

3.1.3改名规则

定义3.1.4.在一个由谓词，量词，逻辑联结词，括号组成的有意义的符号串(实际是指下一节将严格定义的公式)中，变量的出现说是约束的，当且仅当它出现在使用这个变量的量词范围之内；变量的出现说是自由的，当且仅当这个出现不是约束的。

例如，∃x(P(x,y)→Q(x,z))∨R(x).

从左向右算起，变量x的第一，第二次出现是约束的，第三次出现是自由的；变量y，z的出现是自由的。

定义3.1.5.变量说是约束的，如果至少一个它的出现是约束的；变量说是自由的，如果至少一个它的出现是自由的。

由定义可以看出一个变量可以既是约束变量又是自由变量。

例如，上例中的x即使约束变量，又是自由变量；y,z只是自由变量。显然，∃xG(x)于∃yG(y)的真值一样，∀xG(x)于∀yG(y)的真值一样，亦即，谓词逻辑中的命题的真值，于命题中的约束变量的记法无关。这就引出了谓词逻辑中的改名规则。

在由谓词，量词，逻辑联结词，括号组成的有意义的符号串中，我们可以将其中出现的约束变量改为另一个约束变量，这种改名必须在量词作用区域内各处以及该量词符号中实行，并且改成的新约束变量要有别于改名区域中的所有其它变量。显然改名规则不改变原符号串的真值。

例如，对于∀x(P(x,y)∨Q(x,z)),可改名为∀u(P(u,y)∨Q(u,z))。

但下面的改名都是不对的：a.∀u(P(u,y)∨Q(x,z))b.∀x(P(u,y)∨Q(u,z))c.∀u(P(x,y)∨Q(x,z))d.∀y(P(y,y)∨Q(y,z))e.∀z(P(z,y)∨Q(z,z))因此，在谓词逻辑中的一个表达式里，我们总可以通过改名规则，使得该表达式中所有的约束变量都不是自由变量，于是所有的自由变量也都不是约束变量了。以后的讨论，我们总是在这种假定下进行。