基础集合论 第五章 5 良序化原理

定理 良序化原理

每个集合都可以良序化。

证明

若 A=∅A=∅ 则 (∅,∅)(∅,∅) 就是一个良序集。接下来只考虑 A≠∅A≠∅ 的情况。

根据选择公理，设 φφ 是集合 AA 的一个选择函数。

对于集合 AA 的任意一个子集 DD 和 DD 上的一个偏序 ≤D≤D ，当且仅当：

1. (D,≤D)(D,≤D) 是良序集。

2. ∀a∈D(φ(A−s(a,≤D))=a)∀a∈D(φ(A−s(a,≤D))=a)

称序集 (D,≤D)(D,≤D) 是一个 ΓΓ 集。

令 M={D⊆A|∃DM={D⊆A|∃D 上的一个偏序 ≤D,≤D, 使得序集 (D,≤D)(D,≤D) 是一个 ΓΓ 集 },},

U=∪(M),U=∪(M),

R={(x,y)|∃ΓR={(x,y)|∃Γ 集 (D,≤D)(D,≤D) 使得 (x≤Dy)}(x≤Dy)}

则：

结论 1

对于任意一个 D∈M,D∈M, 有唯一的 ≤D≤D 使得 (D,≤D)(D,≤D) 是 ΓΓ 集。

即：∀D∈M,∀D∈M, 对于 DD 上的任意两个偏序 ≤D1,≤D2,≤D1,≤D2, 若 (D,≤D1),(D,≤D2)(D,≤D1),(D,≤D2) 都是 ΓΓ 集，则 ≤D1=≤D2≤D1=≤D2

证明：

只要证：∀a∈D(s(a,≤D1)=s(a,≤D2))∀a∈D(s(a,≤D1)=s(a,≤D2))

使用超限归纳原理证明：

∀a∈D,∀a∈D, 假设 ∀x∈s(a,≤D1)(s(x,≤D1)=s(x,≤D2))∀x∈s(a,≤D1)(s(x,≤D1)=s(x,≤D2))

则 ∀x∈s(a,≤D1),∀y∈D(y≤D2x⇒y≤D1x⇒y∈s(a,≤D1))∀x∈s(a,≤D1),∀y∈D(y≤D2x⇒y≤D1x⇒y∈s(a,≤D1))

因此 s(a,≤D1)s(a,≤D1) 是序集 (D,≤D2)(D,≤D2) 的一个截段。

因为 a∉s(a,≤D1)a∉s(a,≤D1)，因此 s(a,≤D1)s(a,≤D1) 是序集 (D,≤D2)(D,≤D2) 的一个真截段。

因为 (D,≤D2)(D,≤D2) 是良序集，因此存在 b∈D,b∈D, 使得 s(a,≤D1)=s(b,≤D2),s(a,≤D1)=s(b,≤D2),

于是 a=φ(A−s(a,≤D1))=φ(A−s(b,≤D2))=b,a=φ(A−s(a,≤D1))=φ(A−s(b,≤D2))=b,

因此 s(a,≤D1)=s(a,≤D2)s(a,≤D1)=s(a,≤D2)

结论 2

若 (D,≤D),(E,≤E)(D,≤D),(E,≤E) 都是 ΓΓ 集，则 DD 是 (E,≤E)(E,≤E) 的一个截段且 ≤D⊆≤E,≤D⊆≤E, 或 EE 是 (D,≤D)(D,≤D) 的一个截段且 ≤E⊆≤D≤E⊆≤D

证明：

设集组 ΣΣ 是由满足下列条件的集合 FF 组成的集合：

1. F⊆D∩EF⊆D∩E

2. FF 同时是 (D,≤D)(D,≤D) 和 (E,≤E)(E,≤E) 的一个截段。

令集合 G=∪(Σ),G=∪(Σ), 则：

1. x∈G⇔∃F∈Σ(x∈F)⇒x∈D∩Ex∈G⇔∃F∈Σ(x∈F)⇒x∈D∩E 因此 G⊆D∩EG⊆D∩E

2. ∀x∈G(∃F∈Σ(x∈F)),∀x∈G(∃F∈Σ(x∈F)), 则 ∀y∈D(y≤Dx⇒y∈F⇒y∈G),∀y∈D(y≤Dx⇒y∈F⇒y∈G), 因此 GG 是 (D,≤D)(D,≤D) 的一个截段，同理 GG 是 (E,≤E)(E,≤E) 的一个截段。

由 1, 2 得 G∈ΣG∈Σ

则 G=D∨G=E,G=D∨G=E, 可使用反证法证明：

若命题不成立，则 G≠D∧G≠E,G≠D∧G≠E, 于是 GG 同时是 (D,≤D)(D,≤D)和 (E,≤E)(E,≤E) 的真截段。

由于 (D,≤D)(D,≤D)和 (E,≤E)(E,≤E) 都是良序集，因此存在 a∈D,b∈Ea∈D,b∈E 使得 G=s(a,≤D),G=s(b,≤E),G=s(a,≤D),G=s(b,≤E),

于是 a=φ(A−s(a,≤D))=φ(A−G)=φ(A−s(b,≤E))=b,a=φ(A−s(a,≤D))=φ(A−G)=φ(A−s(b,≤E))=b, 且 a∉G,a∉G, 于是 a∈D∩Ea∈D∩E

令 G′=G∪{a},G′=G∪{a}, 则：

1. G′⊆D∩EG′⊆D∩E

2. ∀x∈G′,∀x∈G′, 1) 若 x∈G,x∈G, 则 ∀y∈D(y≤Dx⇒y∈G⇒y∈G′)∀y∈D(y≤Dx⇒y∈G⇒y∈G′) 2) 若 x∈{a},x∈{a}, 则 x=a,x=a, 于是 ∀y∈D(y≤Dx⇒y≤Da⇒y=a∨y<Da∀y∈D(y≤Dx⇒y≤Da⇒y=a∨y<Da

⇒y=a∨y∈s(a,≤D)⇒y=a∨y∈G⇒y∈G′),⇒y=a∨y∈s(a,≤D)⇒y=a∨y∈G⇒y∈G′),

因此 G′G′ 是 (D,≤D)(D,≤D) 的一个截段，同理 G′G′ 是 (E,≤E)(E,≤E) 的一个截段。

由 1, 2 得 G′∈Σ⇒a∈G,G′∈Σ⇒a∈G, 与 a∉Ga∉G 矛盾。

不妨设 G=D,G=D, 则 DD 是 (E,≤E)(E,≤E) 的一个截段。

取 ≤E′={(x,y)∈≤E|x,y∈D},≤E′={(x,y)∈≤E|x,y∈D}, 则

∀x∈D,∀y(y∈s(x,≤E′)⇔y∈D∧y<E′x⇔y∈E∧y<Ex⇔y∈s(x,≤E))∀x∈D,∀y(y∈s(x,≤E′)⇔y∈D∧y<E′x⇔y∈E∧y<Ex⇔y∈s(x,≤E))

因此 ∀x∈D(s(x,≤E′)=s(x,≤E))∀x∈D(s(x,≤E′)=s(x,≤E))

于是

1. (D,≤E′)(D,≤E′) 是良序集。

2. ∀x∈D(φ(A−s(x,≤E′))=φ(A−s(x,≤E))=x)∀x∈D(φ(A−s(x,≤E′))=φ(A−s(x,≤E))=x)

于是 (D,≤E′)(D,≤E′) 是一个 ΓΓ 集。

由结论 1 可得 ≤D=≤E′⇒≤D⊆≤E≤D=≤E′⇒≤D⊆≤E

结论3 (U,R)(U,R) 是全序集。

证明：

xRx,∀x∈UxRx,∀x∈U

∀x∈U(∃D∈M(x∈D)),∀x∈U(∃D∈M(x∈D)),

于是 x≤Dxx≤Dx 因此 xRxxRx

∀x,y∈U(xRy∧yRx⇒x=y)∀x,y∈U(xRy∧yRx⇒x=y)

∀x,y∈U，∀x,y∈U， 若 xRy∧yRx,xRy∧yRx, 则

∃D∈M(x,y∈D∧x≤Dy),∃D∈M(x,y∈D∧x≤Dy),

∃E∈M(x,y∈E∧y≤Ex),∃E∈M(x,y∈E∧y≤Ex),

由结论 2 可知，DD 是 (E,≤E)(E,≤E) 的一个截段且 ≤D⊆≤E,≤D⊆≤E, 或 EE 是 (D,≤D)(D,≤D) 的一个截段且 ≤E⊆≤D,≤E⊆≤D,

若 DD 是 (E,≤E)(E,≤E) 的一个截段且 ≤D⊆≤E,≤D⊆≤E,

因此 x≤Dy⇒x≤Eyx≤Dy⇒x≤Ey

又 y≤Exy≤Ex 因此 x=yx=y

因此 ∀x,y∈U(xRy∧yRx⇒x=y)∀x,y∈U(xRy∧yRx⇒x=y)

若 EE 是 (D,≤D)(D,≤D) 的一个截段且 ≤E⊆≤D,≤E⊆≤D,

同理可得结论。

∀x,y,z∈U(xRy∧yRz⇒xRz)∀x,y,z∈U(xRy∧yRz⇒xRz)

∀x,y,z∈U,∀x,y,z∈U, 若 xRy∧yRzxRy∧yRz 则

∃D∈M(x,y∈D∧x≤Dy),∃D∈M(x,y∈D∧x≤Dy),

∃E∈M(y,z∈E∧y≤Ez),∃E∈M(y,z∈E∧y≤Ez),

由结论 2 可知，DD 是 (E,≤E)(E,≤E) 的一个截段且 ≤D⊆≤E,≤D⊆≤E, 或 EE 是 (D,≤D)(D,≤D) 的一个截段且 ≤E⊆≤D,≤E⊆≤D,

若 DD 是 (E,≤E)(E,≤E) 的一个截段且 ≤D⊆≤E,≤D⊆≤E,

则 x,y∈E∧x≤Eyx,y∈E∧x≤Ey

于是 x≤Ey∧y≤Ez⇒x≤Ez⇒xRzx≤Ey∧y≤Ez⇒x≤Ez⇒xRz

若 EE 是 (D,≤D)(D,≤D) 的一个截段且 ≤E⊆≤D,≤E⊆≤D,

同理可得结论。

∀x,y∈U(xRy∨yRx)∀x,y∈U(xRy∨yRx)

∀x∈U(∃D∈M(x∈D)),∀x∈U(∃D∈M(x∈D)),

∀y∈U(∃E∈M(y∈E)),∀y∈U(∃E∈M(y∈E)),

由结论 2 可知， DD 是 (E,≤E)(E,≤E) 的一个截段且 ≤D⊆≤E,≤D⊆≤E, 或 EE 是 (D,≤D)(D,≤D) 的一个截段且 ≤E⊆≤D,≤E⊆≤D,

不妨设 DD 是 (E,≤E)(E,≤E) 的一个截段且 ≤D⊆≤E,≤D⊆≤E,

于是 x,y∈E⇒x≤Ey∨y≤Exx,y∈E⇒x≤Ey∨y≤Ex

因此 ∀x,y∈U(xRy∨yRx)∀x,y∈U(xRy∨yRx)

注:

由于 RR 是集合 UU 的一个偏序，因此此后将 RR 标记为 ≤≤

结论 4

∀D∈M,∀D∈M, DD 是序集 (U,≤)(U,≤) 的一个截段。

证明：

∀x∈D,∀y∈U,∀x∈D,∀y∈U, 若 y≤xy≤x 则

∃E∈M(x,y∈E∧y≤Ex),∃E∈M(x,y∈E∧y≤Ex),

由结论 2 可知， DD 是 (E,≤E)(E,≤E) 的一个截段且 ≤D⊆≤E,≤D⊆≤E, 或 EE 是 (D,≤D)(D,≤D) 的一个截段且 ≤E⊆≤D,≤E⊆≤D,

若 DD 是 (E,≤E)(E,≤E) 的一个截段且 ≤D⊆≤E,≤D⊆≤E,

则 y∈Dy∈D

若 EE 是 (D,≤D)(D,≤D) 的一个截段且 ≤E⊆≤D,≤E⊆≤D,

则显然 y∈Dy∈D

因此 DD 是序集 (U,≤)(U,≤) 的一个截段。

结论 5

序集 (U,≤)(U,≤) 是 ΓΓ 集。

证明：

(U,≤)(U,≤) 是良序集。

对于任意一个非空集合 B⊆U,B⊆U, 任取一元素 b∈B,b∈B,

则 ∃D∈M∃D∈M 使得 b∈Db∈D

由结论 4，DD 是序集 (U,≤)(U,≤) 的一个截段。

令集合 C={x∈B|x≤b},C={x∈B|x≤b},

则 C⊆DC⊆D

由于 DD 是良序集，且 b∈C⇒C≠∅b∈C⇒C≠∅ 因此非空集合 CC 存在最小元 cc 使得 c≤Dx,∀x∈C,c≤Dx,∀x∈C,

因此 c≤x,∀x∈C,c≤x,∀x∈C,

因此 c≤x,∀x∈B,c≤x,∀x∈B, 即 cc 是集合 BB 的最小元。

∀a∈U(φ(A−s(a,≤))=a)∀a∈U(φ(A−s(a,≤))=a)

a∈U⇒∃D∈Ma∈U⇒∃D∈M 使得 a∈Da∈D

由于 DD 是 ΓΓ 集，因此

φ(A−s(a,≤D))=aφ(A−s(a,≤D))=a

由结论 4，DD 是序集 (U,≤)(U,≤) 的一个截段。因此

x∈s(a,≤D)⇔x∈D∧x<Dax∈s(a,≤D)⇔x∈D∧x<Da

⇔x∈D∧x≤Da∧x≠a⇔x∈D∧x≤Da∧x≠a

⇔x∈U∧x≤a∧x≠a⇔x∈U∧x≤a∧x≠a

因此 s(a,≤D)=s(a,≤),s(a,≤D)=s(a,≤),

因此 φ(A−s(a,≤))=aφ(A−s(a,≤))=a

结论 6

集合 U=AU=A

证明：

反证法：

若 U≠A,U≠A, 则 A−U≠∅,A−U≠∅, 于是存在 a∈A−Ua∈A−U 使得 φ(A−U)=a,φ(A−U)=a,

令 U′=U∪{a},U′=U∪{a},

≤′=≤∪{(x,a)|x∈U′},≤′=≤∪{(x,a)|x∈U′},

则 (U′,≤′)(U′,≤′) 也是 ΓΓ 集：

1. 易证 (U′,≤′)(U′,≤′) 是全序集。

1.1 x≤′x,∀x∈U′,x≤′x,∀x∈U′,

1.2 x≤′y∧y≤′x⇒x=y,∀x,y∈U′,x≤′y∧y≤′x⇒x=y,∀x,y∈U′,

1.3 x≤′y∧y≤′z⇒x≤′z,∀x,y,z∈U′,x≤′y∧y≤′z⇒x≤′z,∀x,y,z∈U′,

2. (U′,≤′)(U′,≤′) 是良序集。

对于任意一个非空集合 B⊆U′,B⊆U′,

2.1 若 a∉B,a∉B, 则 B⊆U,B⊆U, 于是序集 (B,≤′)=(B,≤)(B,≤′)=(B,≤) 必存在最小元。

2.2 若 a∈B,a∈B, 且 B−{a}≠∅,B−{a}≠∅, 则序集 (B−{a},≤′)(B−{a},≤′) 的最小元就是序集 (B,≤′)(B,≤′) 的最小元。

2.3 若 a∈B,a∈B, 且 B−{a}=∅,B−{a}=∅, 则 B={a},B={a}, 因此 aa 就是序集 (B,≤′)(B,≤′) 的最小元。

3. ∀x∈U′(φ(A−s(x,≤U′))=x)∀x∈U′(φ(A−s(x,≤U′))=x)

s(x,≤U′)={s(x,≤U),U,x≠a,x∈U′,x=a,s(x,≤U′)={s(x,≤U),x≠a,x∈U′,U,x=a,

因此 φ(A−s(x,≤U′))={φ(A−s(x,≤U))=x,φ(A−U)=a,x≠a,x∈U′,x=a,}=x,∀x∈U′φ(A−s(x,≤U′))={φ(A−s(x,≤U))=x,x≠a,x∈U′,φ(A−U)=a,x=a,}=x,∀x∈U′

于是 a∈U,a∈U, 与 a∉Ua∉U 矛盾。