关于罗德里格斯公式的简单推导

罗德里格斯旋转公式是通过反对称矩阵求旋转矩阵的方法，起初我在看别人写的姿态解算分析文章里看到，他的推导如下：



请注意我做标记的地方，我刚开始一直不明白这种推导，这样会有误差的推导，难道罗德里格斯公式是对旋转矩阵Ｒ的近似？这样做并不好，反而会使解算的姿态更不准确，后来在群里讨论这个问题，有大神给我解惑了。
首先我们明白这是一个SO(3)到SO(3)的李群的映射。不要担心自己不知道李群是什么，因为我们下面的推导会非常简单！首先我们来看什么是反对称矩阵，在这之前，先展示它和向量叉乘的关系：



这是一个简单的叉乘运算，下面看看我们的反对称矩阵运算：




所以我们得出：




我们知道我们的旋转矩阵Ｒ和我们的三角函数的关系，这里就不多说了，所以现在我们来看一个反对称矩阵的性质，首先定义一个反对称矩阵：




同时我们有如下的约束：




现在我们可以看到我们的反对称阵有如下性质：




现在可以进行我们的罗德里格斯公式推导了：