动态规划--C#求解01背包

背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP完全问题。

给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。

应用：

背包问题出现在各种领域的现实世界的决策过程中，例如寻找最少浪费的方式来削减原材料， 选择投资和投资组合，选择资产支持资产证券化 ，和生成密钥为Merkle-Hellman 和其他背包密码系统

1，穷举法（把所有情况列出来，比较得到 总价值最大的情况）：

求解思路：先不想其他的，求最高价格，那么对于每种物体来说，都有两种状态，要么装进背包，要么不装，有n种物品，就会是n的2次方种，装背包的方式，（如果容量增大，物品增多，这个方法的运行时间将成指数增长），我用二进制的01的形式表示物品是否在背包中，代码如下：

using System;

namespace _4_2_1动态规划_01背包_穷举
{
class Program
{
static void Main(string[] args)
{
//包的最大容纳量
;           int m = 10;

//物品重量
int[] weight = {0, 3, 4, 5 };
//和上面所对应物品的价值
int[] value = { 0, 4, 5, 6 };

//输出的结果是11
Console.WriteLine(Exhausttiity(m,weight,value));

Console.ReadKey();
}

public static int  Exhausttiity(int m,int[] w,int[] p)
{
int num = w.Length - 1;    //物品的个数
int maxPrice = 0;      //物品最大价值

for (int i = 0; i < Math.Pow(2,m); i++)
{
//取得i上第一个位置上的二进制值
int weihght = 0;
int price = 0;
for (int j = 1; j <= num; j++)
{
int result = Get2(i, j);
if(result == 1)
{
weihght += w[j];
price += p[j];
}
}
if(weihght <= m && price > maxPrice)
{
maxPrice = price;
}
}
return maxPrice;
}

//取得i上number位 上的二进制值，是1还是0
public  static int Get2(int i,int number)
{
int A = i;
int B = (int)Math.Pow(2, number - 1);
//二进制的与运算
int result = A & B;
if (result == 0)
{
return 0;
}else{
return 1;
}
}
}
}

动态规划算法

我们要求得i个物体放入容量为m(kg)的背包的最大价值（记为 c[i，m]）。在选择物品的时候，对于每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。某种物品不能装入多次（可以认为每种物品只有一个），因此该问题被称为0-1背包问题

对于c[i，m]有下面几种情况：

c[i,0]=c[0,m]=0

当w[i]>m 时 c[i,m]=c[i-1,m] 最后一个物品的重量大于容量，直接舍弃不用）

当w[i]<=m的时候有两种情况，一种是放入i，一种是不放入i

a, 不放入i c[i,m]=c[i-1,m]

b, 放入i c[i,m]=c[i-1,m-w[i]]+p[i]

上面a,b做比较，取得较大的值记录： c[i,m]=max(不放入i，放入i)

递归解决01背包：

using System;

namespace _4_2_3动态规划_01背包_递归优化
{
class Program
{
//11 是 最大可拿的方案有12种，4 是 最大可拿物品的个数
public static int[,] result = new int[11,4];
static void Main(string[] args)
{
//包的最大容纳量
int m = 10;
//物品重量
int[] weight = { 0, 3, 4, 5 };
//和上面所对应物品的价值
int[] value = { 0, 4, 5, 6 };

Console.WriteLine(UpDown(m, 3, weight, value));

Console.ReadKey();
}

//m是背包容量，i是物品个数，wp是物品的重量和价值数组
public static int UpDown(int m, int i, int[] w, int[] p)
{
//物品个数为0或者背包容量为0时，最大利润为0
if (i == 0 || m == 0) { return 0; }

//若不为0则表示求解过
if (result[m,i] != 0)
{
return result[m, i];
}

if (w[i] > m)
{
result[m,i] = UpDown(m, i - 1, w, p);
return result[m, i];
}
else
{
int maxValue1 = UpDown(m - w[i], i - 1, w, p) + p[i];
int maxValue2 = UpDown(m, i - 1, w, p);
if (maxValue1 > maxValue2)
{
result[m, i] = maxValue1;
}
else
{
result[m, i] = maxValue2;
}
return  result[m, i];
}
}

}
}

动态规划算法：：：

using System;

namespace _4_2_3动态规划_01背包_自底向上法
{
class Program
{
//足够大
public static int[,] result = new int[11, 4];
static void Main(string[] args)
{
//包的最大容纳量
int m = 10;
//物品重量
int[] weight = { 0, 3, 4, 5 };
//和上面所对应物品的价值
int[] value = { 0, 4, 5, 6 };

Console.WriteLine(BottomUp(m, 3, weight, value));

Console.ReadKey();
}
public static int BottomUp(int m,int i, int[] w,int[] p)
{
for (int a = 1; a <= m; a++)
{
//已经求出最大价值
if (result[m,i] != 0)  { return result[m, i]; }

for (int b = 1; b <= i; b++)
{
if (result[a, b] != 0) continue;

if (w[b] > a)
{
result[a, b] = result[a, b - 1];
}
else
{   //放入i
int maxValue1 = result[a-w[b],b-1] + p[b];
//不放入i
int maxValue2 = result[a, b - 1];
if (maxValue1>maxValue2)
{
result[a, b] = maxValue1;
}
else
{
result[a, b] = maxValue2;
}
}
}
}
return result[m, i];
}
}
}