方阵的特征值与特征向量

定义: 设A是n阶方阵, 如果数λ和非零向量x使关系式

Ax=λx

成立, 那么, λ称为方阵A的特征值, 非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量. 上式也可以写为:

(Ax−λE)x=0

这个是n个未知数和n个方程的齐次线形方程组. 它有非零解的充要条件是, 系数行列式为0, 即:

|A−λE|=0

上面以λ为未知数的一元n次方程, 称为方阵A的特征方程, 其行列式, 称为方阵A的特征多项式. 显然A的特征值就是特征多项式的解, 特征方程在复数域内恒有解, 其个数为方程的次数, 因此n阶方阵有n个特征值.

Reference:

1. 线性代数 同济大学数学教研室 高等教育出版社