线性代数矩阵论——特征值特征向量相似矩阵应用示例

天气Markov链的稳定状态

设一个地区的天气状态为晴、阴、雨三种状态，今天天气状态出现的概率为向量

，其中

，

，

分别是今天出现晴、阴、雨的概率。设明天状态概率为向量

，转移矩阵A为



，

天气状态概率的模型为

，即





用该模型可以预测以后第k天天气状态概率

如下：



，

，

，…，

，这就是天气Markov链，用它可以得到：

，



天气Markov链稳态问题是：是否在

天出现一个状态概率

，使

，这样第

天以后的任意一天的状态概率会是

，称

是Markov链的稳态分布向量。求稳态分布向量

。

解：求得A的特征矩阵为

，特征值为

，其中

，

，



因此，

，





对任意初始状态概率向量

，当

时，有

，

，





人口流动问题

设某国人口流动状态的统计规律是每年有十分之一的城市人口流向农村，十分之二的农村人口流入城市。假定人口总数不变，那么经过许多年后全国人口将会集中在城市吗？

解：设最初城市和农村人口分别为y0，z0，第一年末城乡人口为









即



则第k年末城乡人口为



由此推得

，设

，为计算

，将

相似对角化，求得

，

，





，当

时，

，故



，即当

时，城市与农村人口为2:1，趋于稳定的分布状态。

参考文献：

[1] 刘先忠, 杨明. 线性代数. 北京: 高等教育出版社.