算法分析与设计课程作业第十六周——NP-完全问题证明

算法分析与设计课程作业第十六周——NP-完全问题证明

题目8.8

在精确的4SAT问题中，输入为一组子句，每个子句都是恰好4个文字的析取，且每个变量最大在每个子句中出现一次，目标是求它的满足赋值——如果该赋值存在。证明精确的4SAT是NP-完全问题。

证明

首先，可看出精确的4SAT问题是NP问题，因为任一个赋值，要验证是否是满足赋值，代入验证只需多项式时间即可。

接着，证明可将3SAT问题归约到精确的4SAT问题（如此一来，即证得精确的4SAT问题是NP难的）：

在3SAT中，问题的输入是一个子句集，每个子句包含不超过3个的文字。

现在考虑如何将3SAT的每个子句，转化为精确4SAT的子句：

可以引入一些无用的辅助变量，例如：对3SAT中的有3个变量任意子句（a1∨a2∨a3)，可引入y，转化为(a1∨a2∨a3∨y)(a1∨a2∨a3∨~y)。

这个转化之所以有效，是因为：如果(a1∨a2∨a3∨y)(a1∨a2∨a3∨~y)为真，则(a1∨a2∨a3)必为真，可用反证法，倘若(a1∨a2∨a3)为假，则(a1∨a2∨a3∨y)(a1∨a2∨a3∨~y)相当于y∧~y，一定为假，不可能为真。除了使用反证法，分类讨论也可证得。而如果(a1∨a2∨a3)为真，(a1∨a2∨a3∨y)(a1∨a2∨a3∨~y)一定为真，如此即(a1∨a2∨a3∨y)(a1∨a2∨a3∨~y)与(a1∨a2∨a3)是等价的。

对于有两个或一个变量的3SAT子句可用类似的方法先转化为有三个变量的子句，再转化为有四个变量的精确4SAT子句。

由此，若有多项式时间算法解决精确4SAT问题，也必有多项式时间算法解决3SAT问题（多项式时间内转化为精确4SAT问题，再用多项式时间算法解决）。

综上，精确的4SAT是NP-完全问题。