剑指Offer-14：剪绳子

题目：

给定一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m]。请问k[0]* k[1] * … *k[m]可能的最大乘积是多少？

例子：

例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

问题解析：

问题是求最优解；

整体的问题的最优解是依赖各个子问题的最优解；

子问题之间还有互相重叠的更小的子问题；

为避免子问题的重复计算，我们存储子问题的最优解。从上往下分析问题，从下往上求解问题。

上面的几个条件可以看出，属于动态规划问题。

链接：

剑指Offer（第2版）：P96

思路标签：

算法：动态规划、贪婪算法

解答：

1. C++

动态规划：

定义函数f(n)表示为把长度为n的绳子剪成若干段后各段长度乘积的最大值。

对于第一刀，我们有n-1种可能的选择，可推导出f(n)=max{f(i)*f(n-i)};

很明显这是一个从上至下的递归，但是这个递归存在很多重复的计算，所以使用至下而上的动态规划，将子问题的最优解保存。

注意绳子剪成ix(n-i)和(n-i)xi是相同的；

注意不符合切割条件的输入n，以及输入为2、3长度时的结果，因为题中规定m>1。

class Solution {
public:
int maxProduct(int length)
{
if (length < 2) return 0;
if (length == 2) return 1;
if (length == 3) return 2;

int* products = new int[length + 1];
products[0] = 0;
products[1] = 1;
products[2] = 2;
products[3] = 3;

int max = 0;
for (int i = 4; i <= length; ++i) {
max = 0;
for (int j = 1; j <= i / 2; ++j) {
int product = products[j] * products[i - j];
if (max < product)
max = product;

products[i] = max;
}
}

max = products[length];
delete[] products;

return max;
}
};

贪婪算法：

贪心算法在对问题求解时，不从整体最优上加以考虑，他所做出的是在某种意义上的局部最优解；

选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以前的过程不会影响以后的状态，只与当前状态有关；

题目贪婪策略：当n>=5时，尽可能多地剪长度为3的绳子；当剩下的绳子长度为4时，把绳子剪成两段长度为2的绳子。

class Solution {
public:
int maxProduct(int length)
{
if (length < 2) return 0;
if (length == 2) return 1;
if (length == 3) return 2;

int timesOf3 = length / 3;
if (length - timesOf3 * 3 == 1)
timesOf3--;

int timesOf2 = (length - timesOf3 * 3) / 2;

int result = pow(3, timesOf3) * pow(2, timesOf2);

return result;
}
};

证明：

当n<5时，我们会发现，无论怎么剪切，乘积product <= n，n为4时，product最大为2*2=4；

当n>=5时，可以证明2(n-2)>n并且3(n-3)>n。而且3(n-3)>=2(n-2)。所以我们应该尽可能地多剪长度为3的绳子段。

算法相关：

动态规划：

什么是动态规划？动态规划的意义是什么？（https://www.zhihu.com/question/23995189）

http://blog.csdn.net/koala_tree/article/details/77844584

贪心算法：

http://blog.csdn.net/koala_tree/article/details/77899069