【剑指offer】面试题14：剪绳子

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题目

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n>1,m>1），

每段绳子的长度记为 k[0], k[1], k[2], …, k[m]。

请问 k[0] * k[1] * k[2] * … * k[m] 可能的最大乘积是多少？

例如，当绳子的长度为8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

思路

1.使用动态规划求解，当长度为n时，设最大乘积为f(n) = max(f(i) * f(n-i))，自下向上求解并把f(n)保存在数组中

时间复杂度为O(n²)，空间复杂度为O(n)

2.使用贪婪算法求解

当 n>=5时，

a. 2(n-2) > n

b. 3(n-3) > n

c. 3(n-3) >= 2(n-2)

由ab可得，绳子长度减成长度为2、3的小绳子肯定比不剪来的好。由c可得，当n>=5时，剪成3的比剪成2的好。

当长度为4时，应该剪成2+2

代码

/**
* 动态规划解决
* 时间O(n²)，空间O(n)
* f(n) = max(f(i), f(n-i))
*/
public static int cuttingRopeInDynamic(int length) {
if(length < 2)
return 0;
if(length == 2)
return 1;
if(length == 3)
return 2;

int[] max = new int[length+1];
max[0] = 0;
max[1] = 1;
max[2] = 2;
max[3] = 3;

for(int i = 4; i <= length; ++i) {
int maxValue = 0;
for(int j = 1; j <= i / 2; ++j) {
int tmp = max[j] * max[i - j];
if(tmp > maxValue)
maxValue = tmp;
}
max[i] = maxValue;
}
return max[length];
}

/**
* 贪婪算法解决
* 当 n >= 5 时，
* 2(n-2) > n
* 3(n-3) > n
* 3(n-3) >= 2(n-2)
*
* 时间O(1)，空间O(1)
*/
public static int cuttingRopeInGreedy(int length) {
if(length < 2)
return 0;
if(length == 2)
return 1;
if(length == 3)
return 2;

int timesOf3 = length / 3;

// 尽可能多的剪去长度为3的绳子
length -= timesOf3 * 3;

// 如果绳子最后剩下长度为4，应该剪成 2+2，而不是 3+1
if(length == 1) {
timesOf3 -= 1;
return (int) Math.pow(3, timesOf3) * 2 * 2;
}
else if(length == 0) {
return (int) Math.pow(3, timesOf3);
}
// length == 2
else {
return (int) Math.pow(3, timesOf3) * 2;
}
}

测试

public static void main(String[] args) {
test1();
test2();
}

private static void test1() {
for(int i = -1; i < 10; ++i) {
System.out.print(_14_CuttingRope.cuttingRopeInDynamic(i) + " ");
}
System.out.println();
}

private static void test2() {
for(int i = -1; i < 10; ++i) {
System.out.print(_14_CuttingRope.cuttingRopeInGreedy(i) + " ");
}
System.out.println();
}