网络流 （一） 最大流的原理图解

嗯…于是学一波网络流罢

之前学过一波，不过失败了orz

希望这次能学成功（x）

建模

想象一下，你在调度货车运输（不是最小生成树+LCA那道题放心吧），但是有些桥是有载重限制的。比如下图：



绿色的边表示桥，上面的数字表示载重。

老板打算从A到G。

显然，作为一个老板，超载是不合适的，姑且不论货物安全，还有可能受到法律惩罚！那么，最多能一次载多少货物呢？

在解决这个问题之前，我们先为这一模型定义一些概念。

出发点成为源点，也就是A，显然，该点入度为0

终点称为汇点，也就是G，显然，该点出度为0

而每条边上的最大载重称为容量，例如CD边的容量是6。引入符号c[i,j]表示从节点i到节点j的容量；在实际问题中，一条边不一定必须达到载重，一个载重6t的路放4t的货车运输，那么我们就称4是这条路的流量。引入符号f[i,j]表示节点i到节点j的容量。

显然，由于不可能超过限重，f[i,j]<=c[i,j]恒成立。

并且，货物显然不能损失吧，所以源点和汇点的流量是相同的，对于所有点，流入的流量和流出是相同的。

建模完成，接下来就是求解了。

增广

首先，我们定义一种合理的载重方法为可行流。比如下图：



黄色的代表一个可行流，其中数字第一个表示容量，第二个为流量。

我们知道，零流就是一个典型代表——毕竟，它并不会超过容量。

然后，我们就可以开始增广操作了。其实增广是一种自然而然的想法：假定路径s是当前的流，并且，这条路径还可以拓展，那么我们就试图去塞进去更多的流。

这样说不是很明白，举个栗子（为了方便我画图起见我们姑且换一个图）来演示一下过程好了。



好的，现在先yy一下图中存在0流。这里我们写了一个东西叫做剩余，表示的是当前这中方式下还有多少流能够汇入。

那么，增广开始。不妨采用BFS的思想，第一次找到了路径A−B−C

我们发现，这条路线上最多能增广2单位的流，所以我们将流注入。



图中的n/m表示流量/容量

此时变成了这种样子。然后我们仍然BFS，发现了A−B−D−C这条路径。这条路径上最多能增广一个单位的流，于是增长之。



没毛病！然后再去增广A−D−C这条路，结果发现，可以增长三个单位的流。增长之：



扫视一遍，发现未有能增广者，结束增广。

完成了，可喜可贺。由于源点和汇点的流量相同，我们知道，最大流就是6个单位。为之四顾，为之踌躇满志。

但是，在你跃跃欲试去写网络流模板之前，不得不先泼一瓢凉水——

如果此时BFS没有去增广A−B−C，而是先增广了A−B−D−C呢？这个时候，我们再来看看情况：



（上面的CD应该剩余1，写错了）

继续：



惊悚的事情发生了。

没错，之后没有办法增广了，但是！此时我们求出的最大流是4！

这是否证明我们的贪心思路是错的呢？

机制的珂学家们引入了下面的概念，完美的回避掉了这个致命的漏洞——

反向弧

既然这么贪不一定是对的，那么我们就可以引入一种后悔机制，来提供反悔的机会。

怎么搞呢？我们可以每增广一次，就建立一条反向边。

仍然是上面的例子，在对A−B−C−D增广之后如下图。



注意，这里的A′B′C′D′并不是虚点，而是ABCD本身，这里只是为了方便画图和观察所以分开画了。

然后呢——我们发现，A−D−B−C变得可增广了，也就是，A−D,D′B′,BC这条。那么我们对它进行增广之后：



这个图可能稍微有些乱，红色的是我们增广的东西，绿色是增广建的反向边。

当然，继续扫一遍，发现A−D−C还可以增广，于是最后的结果：



没有可以增广的了——完成DAZE！

所以最终的结果就是6。

那么可能有人会问了——上面我们走了A−D−B−C这条原本不应该存在的路，意义是什么呢？其实，这相当我们把原本贪心走BD这条路的流逼了回去，转而走BC。

上面就是一切网络流问题的基础，也是最大流的原理。下一篇文章，我们考虑其实现办法。

参考Blog

https://www.cnblogs.com/ZJUT-jiangnan/p/3632525.html

http://blog.csdn.net/xiaoxin_ling/article/details/19970179