罗德里格斯转换公式推导

最近在学习SLAM，主要的学习资料为高翔的《视觉SLAM十四讲》，首先安利一下这本书，这本书由浅入的介绍了SLAM的整体结构，算法介绍与实际应用。可以说是一本既是通俗有趣的高科技讲义，又是一本足以指导研发实践的翔实教程。
       在书籍第三讲，关于三维空间刚体运动中，由于转动矩阵的数值计算较为复杂，所以提出了转动向量的概念，即转动向量的方向空间刚体转动的转动轴，向量的模代表着转动的的角度，代表轴的方向的单位向量，所以旋转矩阵R所对应的转动向量为。两者之间的关系为：




       我们可以看到旋转轴向量可以通过


得到轴的单位向量。且：




且垂直分量和平行分量各自的旋转分量为：


所以转动后的；将前面的各式代入可以得到：




上述表达为矢量运算的表达式，对于矩阵运算，形式需要改变一下。首先就在线性变换中，可以采取一种反对称矩阵进行矩阵变换，其中为：




则：


所以：




则可以令，则由上式可以的到：


       因此可以得到书中所得到的罗德里格斯转换公式了。