【BZOJ】3173: [Tjoi2013]最长上升子序列（树状数组）

【题意】给定ai，将1~n从小到大插入到第ai个数字之后，求每次插入后的LIS长度。

【算法】树状数组||平衡树

【题解】

这是树状数组的一个用法：O(n log n)寻找前缀和为k的最小位置。（当数列中只有0和1时，转化为求对应排名的数字，就是简单代替平衡树）

根据树状数组的二进制分组规律，从大到小进行倍增，可以发现每次需要加的Σa[i],i∈(now,now+(1<<i)]刚好就是c[now+(1<<i)]。

文字表述就是，跳跃到的位置的c[]刚好表示中间跳跃的数字和，这是树状数组二进制分组规律的特殊性质。

还需要注意的是，实际上需要寻找前缀和<k的最大位置，最后+1。(否则会被目标数字后面的0干扰）

利用上述的方法，初始树状数组全部置为1，然后从n到1倒着寻找并删除，就可以得到每个数字在最终序列中的位置。

这道题由于从小到大插入，可以发现将所有数字全部插入也不会破坏过程中需要的LIS（只会在最后增长）。

那么第i个答案就是以数字1~i结尾的LIS的最长长度。

所以令f[i]表示最终序列中以数字 i 结尾的LIS，则第i个答案就是min(f[j]),j=1~i。（是数字i，不是第i个位置）

求解f[i]只需在O(n log n)求解整个最终序列的LIS的过程中求出即可。

总复杂度O(n log n)。

最后，代码中运用的线性构造树状数组，原理十分简单。

首先要求1~n都有数字（0也行），然后每个数加到自身c[i]+=a[i]，再贡献一下父亲c[i+lowbit(i)]+=c[i]就可以了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
using namespace std;
const int maxn=100010;
struct cyc{int l,r,rnd,num,mx,sz;}t[maxn];
int root,n;
int read(){
char c;int s=0,t=1;
while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')t=-1;
do{s=s*10+c-'0';}while(isdigit(c=getchar()));
return s*t;
}
void up(int k){
t[k].sz=t[t[k].l].sz+t[t[k].r].sz+1;
t[k].mx=max(t[k].num,max(t[t[k].l].mx,t[t[k].r].mx));
}
void split(int k,int &l,int &r,int x){
if(!k)return void(l=r=0);
if(x<t[t[k].l].sz+1){
r=k;
split(t[k].l,l,t[k].l,x);
}
else{
l=k;
split(t[k].r,t[k].r,r,x-t[t[k].l].sz-1);
}
up(k);
}
int merge(int a,int b){
if(!a||!b)return a^b;
if(t[a].rnd<t[b].rnd){
t[a].r=merge(t[a].r,b);
up(a);
return a;
}
else{
t[b].l=merge(a,t[b].l);
up(b);
return b;
}
}
void insert(int k,int x){
int a,b;
split(root,a,b,x);
t[k]=(cyc){0,0,rand(),t[a].mx+1,t[a].mx+1,1};
root=merge(a,k);
root=merge(root,b);
printf("%d\n",t[root].mx);
}
int main(){
n=read();root=0;
for(int i=1;i<=n;i++)insert(i,read());
return 0;
}