如何理解卷积

卷积的本质是积分变换。卷积运算满足交换律与分配律。其公式如下：



设离散函数 如图1所示，计算的过程，只是简单的乘法与加法的计算，最后将计算结果累加在一起，得到的就是卷积的计算结果。



虽然这样，可以知道卷积的计算过程，但是却不能帮助理解卷积实际的含义，所以下面分别从图像处理和音频处理上来体现卷积的实际含义。并对“卷积”这一名称的由来。

首先是图像处理方面，对于一个图像，可以通过卷积对其进行处理。处理的过程中，图像作为一个大矩阵，相当于 ，模板是一个小矩阵，相当于 ，对其进行卷积的计算得到的就是 。取其中与大模板相同的区域，得到的就是处理过的图像。图像处理中的平滑、模糊、锐化、边缘提取基本都属于卷积计算，只是采取的模板 不同。处理效果如下图所示。



其次是音频处理，图7为原始声音，与一个0.1s*采样频率的全为一的卷积得到图8，而与一个1s*采样频率的全一的向量卷积得到图9（图中的横坐标的实际含义是采样点的个数）。实际听到的声音，图8为原始声音增加了回声效果，图9为原始声音重复了两遍。



卷积实际上可以看作“积”和“卷”两部分。积指的是两个函数的积构成的平面。卷则是将整个平面，以 为轴卷起来，最终得到的长条就是一个卷积。对于离散函数，卷的实际作用是将每条对角线上的值累加起来，体现到连续函数中则是线的积分。

以离散卷积为例，图10中的彩色区域为 的积平面，每一个小方块对应二者的乘积。图11则是卷的过程。图12则是得到最终的卷积的结果。