POJ1912_A highway and the seven dwarfs_判断凸包与直线是否相交

题意

给出 n 个点和若干条直线，每一条直线用两个点的形式给出。对每一条直线，问所有点是不是在这条直线的同一侧。题目保证直线不会经过n个点。

思路

首先就有一个特殊情况。因为 n >= 0。当 n <= 1 的时候，可以直接判定为对每一条直线，n个点都在它的同一侧。

对于n > 1的情况，显然是求凸包与直线是否相交的问题。这里利用了凸包的一个性质。

对于凸包上相邻的两个点构成的向量的极角，取 [-pi/2, 3/2pi]时，是单调递增的。

求出凸包上边的极角后，

用二分法，找出极角分别大于给出直线的两个方向向量的第一个向量， 这两个向量的起点，就是在垂直于这条直线的方向上距离最远的两个点。

只需要判断这两个点是否在直线的同一侧，就能判断这条直线是不是穿过凸包。

可以画画图理解一下。

链接

http://poj.org/problem?id=1912

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cmath>

using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 10;
const double pi = acos(-1.0);

struct P{
double x, y;

P(){}

P(double x, double y): x(x), y(y){}

bool operator < (const P &a) const{
if(x != a.x) return x < a.x;
return y < a.y;
}

P operator - (const P &a) const{
return P(x - a.x, y - a.y);
}

double det(const P &a) const{
return x * a.y - y * a.x;
}

double angle(){
double angle = atan2(y, x);
if(angle < -pi / 2) angle += 2 * pi;
return angle;
}
};

int n;
P ps[maxn], qs[maxn];
double angle[maxn];
P p1, p2;
int tb;

int convex_hull(){
sort(ps, ps + n);
int k = 0;

for(int i = 0; i < n; ++i){
while(k > 1 && (qs[k-1] - qs[k-2]).det(ps[i] - qs[k-1]) <= 0) --k;
qs[k++] = ps[i];
}

for(int i = n - 2, t = k; i >= 0; --i){
while(k > t && (qs[k-1]- qs[k-2]).det(ps[i] - qs[k-1]) <= 0) --k;
qs[k++] = ps[i];
}

return k-1;
}

inline int getp(double a){
return lower_bound(angle, angle + tb, a) - angle;
}

bool inter(){
if(n <= 1) return false;

int a = getp((p1 - p2).angle());
int b = getp((p2 - p1).angle());
if((p1 - p2).det(qs[a] - p2) * (p1 - p2).det(qs[b] - p2) <= 0) return true;
return false;
}

int main(){
//  freopen("in.txt", "r", stdin);

scanf("%d", &n);
for(int i = 0; i < n; ++i){
scanf("%lf %lf", &ps[i].x, &ps[i].y);
}

tb = convex_hull();

for(int i = 0; i < tb; ++i){
angle[i] = (qs[i+1] - qs[i]).angle();
}

while(scanf("%lf %lf %lf %lf", &p1.x, &p1.y, &p2.x, &p2.y) == 4){
if(inter()) puts("BAD");
else puts("GOOD");
}

return 0;
}