算法导论读后感-之红黑树的性质

红黑树是具有下列性质的二叉搜索树：

1.每个节点或是红色的，或是黑色的。

2.根节点是黑色的。

3.每个叶节点（NIL）是黑色的。注意，这里的叶节点均为外部节点。

4.如果一个节点是红色的，则它的两个子节点都是黑色的。

5.对每个节点，从该节点到其所有后代的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点。

从某个节点x出发（不含该节点），到达一个叶节点的任意一条简单路径上黑色节点的个数（包括外部节点NIL），称为该节点的黑高。记做：bh(x).

引理：一棵有n个内部节点的红黑树高度之多为2lg(n+1).

意义：红黑树具有O(lg(n))的算法复杂度。

证明：设x为任意节点，当x为叶节点（NIL）时，x有0个内部节点。

当x为具有左右内部节点的子节点时，将x的高度记做bh(x)。则：

a)若x子节点为红，则子节点的高度也为bh(x);

b)若x子节点为黑，则子节点的高度为bh(x)-1.

根据归纳法，子节点最少具有 2^bh(x-1)-1个内部节点。

因此x具有至少 2*( 2^bh(x-1)-1)+1 = 2^bh(x)-1个内部节点。

即 n>=2^bh(x)-1。 又根据性质4，可得bh(x)>=h/2。

因此，n>=2^(h/2)-1。因此，h<=2lg(n+1)。