最小生成树——Prim算法、Kruskal算法和Boruvka算法

最小生成树

概述

实际上是最小权重生成树的简称。在一给定的加权无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边，而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 中的顶点是所有V，T的边是E的子集中，且T中没有环，而且 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树。

简单来讲，最小生成树（树无环）包含了图中所有的点，并包含了能联通全部顶点的最小权重的n-1条边。

本文使用的寻找最小生成树的三个算法，Prim算法、Kruskal算法和Boruvka算法，都是贪心算法的应用。

性质

一个图可以有多个生成树，但是如果每条边的权重都不同（distinct），则只有一个最小生成树。

在每条边权重都不同的情况下：

Cut property：如果S是V(G)的一个合适的非空子集，e(v, w)是一条连接S中的点v和不在S中的点w的一条权重最小的边，v ∈ S 而且 w ∈/ S，那么e(v, w)一定是某个（所有）最小生成树中的一条边。 这是Kruskal算法的基础

Cycle Property：如果C是图G中的一个环，那么C中具有最大权重的边e一定不属于某个（所有）最小生成树

如果在最小生成树中添加一条边，则肯定会构成环。这与Cycle property一起成为证明生成树的定理。

实际应用

最小生成树的目的是创建最经济的联通子图。可以有以下应用:

1. 城市之间的交通系统

2. 石油管道规划

Prim算法

1.概览

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（Vertex or Node），且其所有边的权值之和最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆-亚尔尼克算法。

2.算法简单描述

1).输入：一个加权连通图G (V, E)，其中顶点集合为V，边集合为E；一系列非负边权重值 w(u, v)。

2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（算法起始点），Enew = {},为空；

3).重复下列操作，直到Vnew = V：

a.在集合E中选取权值最小的边(u, v)，其中u为集合Vnew中的元素，即已经被选择的点，而v不在Vnew集合当中，即与被选择的点相连的未被选择的点，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合Vnew中，将(u, v)边加入集合Enew中；

4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

图例	说明	不可选	可选	已选（Vnew)
	此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。	-	-	-
	顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。	C, G	A, B, E, F	D
	下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。	C, G	B, E, F	A, D
	算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。	C	B, E, G	A, D, F
	在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。	无	C, E, G	A, D, F, B
	这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。	无	C, G	A, D, F, B, E
	顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。	无	G	A, D, F, B, E, C
	现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。	无	无	A, D, F, B, E, C, G

3.简单证明prim算法

反证法：假设prim生成的不是最小生成树

1).设prim生成的树为T

2).假设存在Gmin使得cost(Gmin) < cost(T) 则在Gmin中存在(u, v)不属于T

3).将(u, v)加入T中可得一个环，且(u, v)不是该环的最长边(这是因为(u, v)∈Gmin)

4).这与prim每次生成最短边矛盾

5).故假设不成立，命题得证.

4.算法代码实现(未检验)

#define MAX  100000
#define VNUM  10+1                                             //这里没有ID为0的点,so id号范围1~10

int edge[VNUM][VNUM]={/*输入的邻接矩阵*/};
int lowcost[VNUM]={0};                                         //记录Vnew中每个点到V中邻接点的最短边
int addvnew[VNUM];                                             //标记某点是否加入Vnew
int adjecent[VNUM]={0};                                        //记录V中与Vnew最邻近的点

void prim(int start)
{
int sumweight=0;
int i,j,k=0;

for(i=1;i<VNUM;i++)                                      //顶点是从1开始
{
lowcost[i]=edge[start][i];
addvnew[i]=-1;                                         //将所有点至于Vnew之外,V之内，这里只要对应的为-1，就表示在Vnew之外
}

addvnew[start]=0;                                        //将起始点start加入Vnew
adjecent[start]=start;

for(i=1;i<VNUM-1;i++)
{
int min=MAX;
int v=-1;
for(j=1;j<VNUM;j++)
{
if(addvnew[j]!=-1&&lowcost[j]<min)                 //在Vnew之外寻找最短路径
{
min=lowcost[j];
v=j;
}
}
if(v!=-1)
{
printf("%d %d %d\n",adjecent[v],v,lowcost[v]);
addvnew[v]=0;                                      //将v加Vnew中

sumweight+=lowcost[v];                             //计算路径长度之和
for(j=1;j<VNUM;j++)
{
if(addvnew[j]==-1&&edge[v][j]<lowcost[j])
{
lowcost[j]=edge[v][j];                     //此时v点加入Vnew 需要更新lowcost
adjecent[j]=v;
}
}
}
}
printf("the minmum weight is %d",sumweight);
}

5.时间复杂度

这里记顶点数v，边数e

邻接矩阵:O(v2) 邻接表:O(elog2v)

Kruskal算法

1.概览

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有前面Prim算法和Boruvka算法等。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

2.算法简单描述

1).输入：一个加权连通图G (V, E)，其中顶点集合为V，边集合为E；一系列非负边权重值 w(u, v)。

2).初始化：新建图G’，G’中拥有原图中相同的全部e个顶点，但没有边。

3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序

4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中

if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中

添加这条边到图Graphnew中

实际上进行的就是环的判断，如果添加新的边进入图中会产生环，则跳过这条边。

图例描述：

图例	说明	已选（Vnew)
	首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边	无
	将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了左图	AD
	在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5	AD,CE
	依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。	AD,CE,DF,AB,BE
	下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是左	AD,CE,DF,AB,BE,EG

3.简单证明Kruskal算法

对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。

归纳基础：

n=1，显然能够找到最小生成树。

归纳过程：

假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v’，把原来接在u和v的边都接到v’上去，这样就能够得到一个k阶图G’(u,v的合并是k+1少一条边)，G’最小生成树T’可以用Kruskal算法得到。

我们证明T’+{(u,v)}是G的最小生成树。

用反证法，如果T’+{(u,v)}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T) < W(T’+{(u,v)})。显然T应该包含(u,v)，否则，可以用(u,v)加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{(u,v)}，是G’的生成树。所以W(T-{(u,v)})<=W(T’)，也就是W(T)<=W(T’)+W((u,v))=W(T’+{(u,v)})，产生了矛盾。于是假设不成立，T’+{(u,v)}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。

由数学归纳法，Kruskal算法得证。

4.代码算法实现

typedef struct
{
char vertex[VertexNum];                                //顶点表
int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表
int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数
}MGraph;

typedef struct node
{
int u;                                                 //边的起始顶点
int v;                                                 //边的终止顶点
int w;                                                 //边的权值
}Edge;

void kruskal(MGraph G)
{
int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k;
int vset[VertexNum];                                    //辅助数组，判定两个顶点是否连通
int E[EdgeNum];                                         //存放所有的边
k=0;                                                    //E数组的下标从0开始
for (i=0;i<G.n;i++)
{
for (j=0;j<G.n;j++)
{
if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF)
{
E[k].u=i;
E[k].v=j;
E[k].w=G.edges[i][j];
k++;
}
}
}
heapsort(E,k,sizeof(E[0]));                            //堆排序，按权值从小到大排列
for (i=0;i<G.n;i++)                                    //初始化辅助数组
{
vset[i]=i;
}
k=1;                                                   //生成的边数，最后要刚好为总边数
j=0;                                                   //E中的下标
while (k<G.n)
{
sn1=vset[E[j].u];
sn2=vset[E[j].v];                                  //得到两顶点属于的集合编号
if (sn1!=sn2)                                      //不在同一集合编号内的话，把边加入最小生成树
{
printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w);
k++;
for (i=0;i<G.n;i++)
{
if (vset[i]==sn2)
{
vset[i]=sn1;
}
}
}
j++;
}
}

5.时间复杂度

O(n) = elog2e //e为图中的边数

Boruvka算法

1.概述

Brouvka算法又名Sollin算法。是最小生成树最古老的一个算法之一，其实是Prim算法和Kruskal算法的综合，每次迭代同时扩展多课子树，直到得到最小生成树T。适用于并行处理一个图。

2.算法简单描述**

1.用定点数组记录每个子树（一开始是单个定点）的最近邻居。（类似Prim算法)

2.对于每一条边进行处理（类似Kruskal算法）

如果这条边连成的两个顶点同属于一个集合，则不处理，否则检测这条边连接的两个子树，如果是连接这两个子树的最小边，则更新(合并)

由于每次循环迭代时，每棵树都会合并成一棵较大的子树，因此每次循环迭代都会使子树的数量至少减少一半，或者说第i次迭代每个分量大小至少为。所以，循环迭代的总次数为O(logn)。每次循环迭代所需要的计算时间：对于第2步，每次检查所有边O(m)，去更新每个连通分量的最小弧；对于第3步，合并个子树。所以总的复杂度为O(E*logV)。

转自：

https://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html

http://dsqiu.iteye.com/blog/1689178