算法基础--动态规划

动态规划

记忆型递归：在递归实现中用空间存储中间的计算结果，如果已经存在中间结果就直接取出使用。

递归转成递推：递归符合自然直觉从上层不断化简成相似子问题。递推从最底层开始不断推得问题的解。

空间优化：用最少的空间保存中间结果。（可以覆盖掉不需要的中间结果）。例：三角最大路径中可以把存储结果的二维数组优化成一位数组。甚至可以在优化用存放原始数据的地方来存储中间结果。

例题1最长上升子序列：考虑以每个字符为结尾的最长序列

例题2最长公共子序列：考虑两个串第i，j个字符相同，不同情况下的解（分类）

5-3例题3最佳加法表达式：思考把最右边的加号放在第i个数字右侧后，其余m-1个加号和数字形式的递归。可用记忆型递归实现。

解题思路：先用递归理出分解思路；通过控制答案的变量来设计状态，得到递推式；一般有几个状态就要用几维数组来存储中间结果；实现记忆型递归动规程序；思考递推的边界和顺序，实现递推程序；能否用滚动数组或者其他方式来优化空间

helpJimmy：记忆型递归，计算每块板子left和right时间，并存在相应数组

滑雪：人人为我递推，按照从低到高的顺序依次递推出长度

神奇口袋和0-1背包：分类取和不取两种情况，写出递推式。按顺序递推结果，且根据递推的影响能够优化空间（0-1背包从右向左递推可以优化成一维空间）

6-3分蛋糕：最优解–>第一刀横切还是竖切的最小值–>第一刀切i的最小值–>其余刀怎么切得最优解：遍历的所有的切法。用记忆型递归实现。

总结：动规和递归的最大区别就是：用额外的空间来存储中间计算结果，避免递归程序的重复计算。甚至可以简单的把一个递归改写成记忆型递归的动规程序。当然，在理顺递推式之后可以自边界向上完成更高效的递推程序（减少函数栈）。更重要的是如何优化这额外的存储空间，用滚动数组和改变递推顺序等方法可以降成一维数组甚至单个变量

例题：

5-1拦截导弹：最长上升子序列思想，以每个数为结尾的状态来思考

5-2Zipper：以两个串的长度i，j为状态，[i][j]由[i-1][j]和[i][j-1]推得

6-1复杂整数划分：背包变形，（1）划分成k个数，要多加一个状态k来控制（2）非重复划分，01背包（3）奇数划分，可重复，当取j时要判断j是奇数且i>=j

6-2charm bracelet：01背包，可以优化空间