数论在acm竞赛中的应用1

总结一（数论1）
摘要：不摘了，懂的就几个定理
关键词：欧几里得，扩展欧几里得，乘法逆元，同余膜，质数，二分快速幂，矩阵，待续
一，算法介绍
  [b]1）欧几里得[/b]
Gcd(a,b)=Gcd(b,a%b)
注解：递归，循环也行，a=Gcd(a,0)
2) [b]扩展欧几里得[/b]
有  Ax + By = D
A,B,D已知，当gcd(A,B)|D（即D%gcd(A,B)=0）时，x,y有整数解
I.[b]典型同余模问题[/b]
问题链接：http://poj.org/problem?id=2115
题意：
for (variable = A; variable != B; variable += C)statement;
以上变量均为k位unsigned
integer type （int为32位），会给出A.B.C.k，让你求这个循环运行多少次，如果是死循环，输出Forever.
题解：
(A+x*C)%2^k=B
x有解，x即为答案；
x无解，输出Forever.
进行同余模转化：
(A+x*C)%2^k=B%2^k……①
Cx+y*2^k=B-A……②
②式就很明显了，若gcd(C,2^k)|B-A，则答案有解
怎么求这个解呢？可用如下算法求出一个特解


 
然后由特解求出通解：
x=x0+k(b/gcd(a,b));
y=y0+k(a/gcd(a,b));
这里的k为任意整数
最后，最小正整数解就是答案了
3）对分数取模需要用到的[b]乘法逆元[/b]
定义：a*x % MO = 1 % MO
则称x为a关于MO的乘法逆元
所以：（b/a）%MO=b*x%MO
怎么求乘法逆元？
I.[b]扩展欧几里得[/b]
II.[b]费马小定理[/b]
如果MO是质数，x=a^(MO-2).
 
/* 第一篇就这样吧 *//*/*/*/*注释符占位*/*/*//