最简化约瑟夫环问题的递归算法详细解析

这个问题可能每个学算法的同学都会遇见，我没那么聪明，第一次看见时做不出来，只发现一些规律，后面看到算法也挺久才看懂，这里是将别人的算法结果做一个解析，例子是暂时网上找的递归最简洁的例子：

下面就以这个例子做一个解析，这个解法的实际问题就是n个东西围成一个圈，从一开始叫到m号的东西出去，求最后剩下的编号。（算法面试极为常见，就想知道你递归学的怎么样，就少用模拟法什么的了）

我们肯定一眼是无法进行一个通项函数的建立的，m=1的时候是个例外，剩下的是最后一个，但我们知道前一个和后一个是有一定关系的，以前上课的时候老师说这个叫解题思路或者方向。

其中变量有两个一个是人数n，一个是标号数m。所以我们求的问题函数就是f(n,m),而标号数是固定的，每次计数的时候都是这个标号，所以这样我们的思路就可以建立起来了。

首先是首项f(1,m)=0,也可以直接理解为已经完成结果留下来的就是1号，这里不影响。

然后是第2项f(2,m),这里就要看是单数还是双数了，所以就可以用取余数计算 2%m,m是双数留下的就是1，m是单数留下的就是2。

然后是第3项f(3,m),到这里的时候大家就知道就不光是单双的关系了比如m=2,留下的是3；m=3,留下的是2；m=4,留下的是2；m=5,留下的是1；m=6,留下的是1，m=7,留下的是3；等等然后再和第2项对应一下，看有什么规律，如下表：一眼看不出规律吧，没关系我们看看第三项是如何计算的，这个时候我们我要考虑队伍重置问题了，还是举简单的例子，当n=3，m=2时，第一轮编号都是123，用n除m,这里余1，也就是这一行这一圈的计数已经完成了，出局的是2，而这个2和m的关系很明显，余数是等于0的，所以这一圈结束了之后我们还有两个人，还要继续报数，那后面剩了多少人呢，也就是余数，1个（3号），所以下一圈的报数就是这样，3
1，但是他们的编号已经改变了，3变成1号，1变成2号，也就是n=2了，这个时候就回归到了第2项，这里m是双数，留下的就是1号，而1号现在是3，所以f(3,2)就是3了，这里的递归就完成了，后面怎么加都是一样的，最终都将回归到f(2,m)来得到答案，然后下一步知道原理了，就开始建立算法了，下面表是不是看起来很有规律，当然是有规律的，不过要从这个规律去解题，恐怕是一条不归路。

     m        2    3    4    5    6    7    8    9    10    11    12

 第2项     1    2    1    2    1    2    1    2     1      2      1    

 第3项     3    2    2    1    1    3    3    2     2      1      1

这里就开始算法的建立了，这个看个人思维了，有人有高效的思维就其实是因为他高效和低效的方法都知道，自然能直接选择高效的方法，多学习多思考吧。

首先列两个方程 

f(1,m) =0;这里上面提过了,主要就是求f(n,m)和f(n-1,m)的对应关系了。

最简单的f(2,m)应该是多少，从上面的算法知道留下的应该是m%2,那这样结果就是0或者1，那我们需要返回的是1或者2这个之间数，这个很简单，加一个1就行，这个问题一定要考虑到，所以

f(2,m)=m%2+1 。

然后是

f(3,m)=(f(2,m)-1+m)%3 + 1   ， 这里加一减一原因和上面一样，加m是因为对表进行重置，是上层表加m做下层表的计算，比如f(2,3) n=2,m=3,m%2+1就是留下来的数其中f(2,3)-1=0，那么f(3,3) n=3,m=3 就是第一轮1，2，3 ；第二轮1，2，1，2，是不是就是f(2.3)的重复（两个值交替出现）。那再往下推，f(4.3)第一轮，1，2，3，4；

第二轮；1，2，4，1，2，4这个时候是不是又和上面一样了，三个值交替出现，第三轮，1，2，1，2换算成公式，r2= m%2, r3=(r2 +m)%3, r4=(r3+m)%4,这个r就是在m定值下取的余数举个例子大家就知道了，当m=3时，n=2时，r2=1 ,那n=3的时候我们把这个r2=1加到上面也就是r3=（3+1）%3=1 说明余了一个数，那留下来的就是2号，然后我们在返回来推，在n=3时是1，2，3中的余数是0，留下来的就是1，2继续余就是1，留下来的就是2，那这里最后的余数是1，而r2+1=2=f(2,3)

那算法就建立好了我们带入检查一下吧，  这个时候就可以对照上面的表了，随机选两个值，f(2,3)=2, f(3,3) = (2-1+3)%3 +1 =2,嗯这一组正确；

下一组，f(2,7)= 2, f(3,7) =(2-1+7)%3 +1 =3   ,嗯也正确，

最后一组，f(2,12) =1, f(3,12) = (1-1+12)%3+1 =1 ，ok没有问题，那说明约瑟夫环的递归公式我们已经推导出来了。

然后就是写入程序，其实有上面的公式再看下面的就很好理解了。

最终该问题的递归公式为 

f(2,m)=m%2+1

f(3,m)=(f(2,m)-1+m)%3 + 1

f(n,m)=(f(n,m)-1+m)%n + 1

package test;

public class cl {

public void way1(int n, int m){
int r = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
r = (r + m) % i;
}
System.out.println(r+1);
}

public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
cl a1 = new cl();
a1.way1(3, 7);
}
}