HDU - 5950 Recursive sequence 矩阵快速幂（由公式推矩阵快速幂简单讲解）

前几天的题了

以前没做过公式推矩阵快速幂的题，讲道理，我学东西真的是 惰性太强，学的很慢，还好，相对来说比较扎实，但是应该追求又快又好啊

然后场上见了这个题，完全没有思路，后来想到了 斐波那契数列 的矩阵快速幂，1小时后推出来了

公式推矩阵快速幂理解：

首先能用到矩阵快速幂的，是 一个数的 n 次方 对 mod 取模的题目，矩阵的话 就是这个数转化成了 矩阵而已

所以，要推矩阵快速幂 要推出一个 固定的矩阵，然后还要有一个初始矩阵，也就是初值，然后跟那个固定矩阵相乘多少次 可以得到答案，

也就到了问题的关键，就是要由一个公式 推出 第 n-1 项和第 n 项之间的关系（这个关系更体现在 共性的点之间的关系），也就是 一个递推的关系式

然后通过矩阵的运算，保证原始矩阵的第一行 都是关键元素，（这样说可能不好理解，下面会由这个题来解释一下）

******相如这个题******

固定矩阵：

1 1 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0

4 0 4 1 0 0 0

6 0 6 3 1 0 0

4 0 4 3 2 1 0

1 0 1 1 1 1 1

初始矩阵：

f2 f1 16 8 4 2 1

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

我们可以由原式：  F ( n )  =   n ^ 4  +  2 * F( n - 2 )  +  1 * F( n - 1 )  

推出  ： F ( n )  =   1 * F( n - 1 )  + 2 * F( n - 2 )  + 1 * (n-1)^4  +  4 * (n-1)^3  +  6 * (n-1)^2  +  4*(n-1)^1 + 1 * 1 ；

其实 固定矩阵是由原始矩阵推出来了，知道原始矩阵的第一行就好了，

一般我们 就用 原始矩阵 （0，0）位置的元素作为答案，然后保证 原始矩阵对固定矩阵运算后，第一行的各元素 意义和开始的时候一样就行（保证下次运算可以的到新的答案）

----------------------这个看不懂 可以先自己手推一遍 fibonaci 的矩阵快速幂

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>

using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 2147493647;

int id;
ll f1, f2;

struct Matrix {
ll a[10][10];
void setMatrix(ll v) {
for(int i = 0; i < 7; ++i)
for(int j = 0; j < 7; ++j)
a[i][j] = v;
}
Matrix operator * (const Matrix& m2) {
Matrix t;
for(int i = 0; i < 7; ++i) {
for(int j = 0; j < 7; ++j) {
t.a[i][j] = 0;
for(int k = 0; k < 7; ++k) {
t.a[i][j] += (a[i][k] * m2.a[k][j]) % mod;
t.a[i][j] %= mod;
}
}
}
return t;
}
}A, t, E;

void init() {
E.setMatrix(0);
for(int i = 0; i < 7; ++i) E.a[i][i] = 1;

A.setMatrix(0); t.setMatrix(0);
t.a[0][0] = 1; t.a[0][1] = 1;
t.a[1][0] = 2;
t.a[2][0] = 1; t.a[2][2] = 1;
t.a[3][0] = 4; t.a[3][2] = 4; t.a[3][3] = 1;
t.a[4][0] = 6; t.a[4][2] = 6; t.a[4][3] = 3; t.a[4][4] = 1;
t.a[5][0] = 4; t.a[5][2] = 4; t.a[5][3] = 3; t.a[5][4] = 2; t.a[5][5] = 1;
t.a[6][0] = 1; t.a[6][2] = 1; t.a[6][3] = 1; t.a[6][4] = 1; t.a[6][5] = 1; t.a[6][6] = 1;

scanf("%d %lld %lld", &id, &f1, &f2);
if(id >= 3) { A.a[0][0] = f2%mod; A.a[0][1] = f1%mod; A.a[0][2] = 16; A.a[0][3] = 8; A.a[0][4] = 4; A.a[0][5] = 2; A.a[0][6] = 1; }

}

Matrix fast_pow(Matrix t, int n) {
Matrix ans = E;
while(n) {
if(n&1) ans = ans * t;
t = t * t;
n /= 2;
}
return ans;
}

void solve() {
if(id == 1) { cout << f1 << endl; return; }
if(id == 2) { cout << f2 << endl; return; }

t = fast_pow(t, id-2);
A = A * t;
cout << A.a[0][0] << endl;
}

int main() {
int T;
scanf("%d", &T);
while(T--) {
init();
solve();
}
return 0;
}