动态规划问题3-矩阵连乘问题

A矩阵为a*b维，B矩阵为b*c维，C矩阵为c*m维。

显然（AB）C=A(BC)。

AB）C的计算次数为：a*b*c+a*c*m

A(BC)的计算次数为：b*c*m+a*b*m

显然两次的计算次数是不一样的。

问题：对于如下n个矩阵连乘最小次数是多少？



Am的维数是（m-1）行*m列

对于这类问题一般采用分治方法：

数据结构：m[i,j]表示第i个到第j个矩阵连乘最小次数。

分治方法：



状态转移矩阵：m[i,j] = m[i,k]+m[k+1,j]+p(i-1)*p(k)*p(j)

这里p(i-1)表示Ai的行，p(k)表示Ak的列，p(j)表示Aj的列。

初始值：m[i][j] = 0，当i=j。

 

一般在动态规划问题中有了初始值，有了状态转移方程，算法只要向前推进，结果就能出来，但在这个问题中i在[1,n]变化，j也在[1,n]中变化，正常递推就不好办了，当出现2个变量都在改变时候，我们采取将i与j两变量的差值进行递推。

i与j相差为0时：比如m[1][1] = 0 ，m[2][2] = 0，m[3][3] = 0

i与j相差为1时：比如m[1][2] ，此时k只能取1，则

m[1][2] = m[1][1]+ m[2][2]+p（0）p（1）p（2），p（0）p（1）p（2）是已知的

m[2][3] = m[2][2]+ m[3][3]+p（1）p（2）p（3），p（1）p（2）p（3）是已知的

 

i与j相差为2时：比如m[1][3] ，此时的k能取1和2

当k取1时：

m[1][3] = m[1][1]+ m[2][3]+p（0）p（1）p（3）

当k取2时：

m[1][3] = m[1][2]+ m[3][3]+p（1）p（2）p（3）

比较k种情况下，取最小值

利用2变量的差值进行递推，求出m[1]
即为n个矩阵连乘最小次数。

代码如下：

n为矩阵个数，m为m[i][j]数据结构，s为k在哪个地方进行划分，p为矩阵的大小