动态规划——矩阵连乘问题

矩阵连乘问题，一个很经典的DP问题。

用DP解这道题的时候，需要找到递归方程，也就是下面这条



其中m[i][j]代表的是矩阵Mi....Mj之间的乘法的最小次数.根据这个来写代码，就清晰多了。

/*
问题描述:计算n个矩阵连乘所需的最少乘法次数
*/

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

int Matrix_chain_Multiply(int p[],int n,int m[][8],int s[][8])
{
//这里的n是数组p[]的元素个数，比矩阵个数多了一个
n-=1;
int i,j,r,k,q;

for(i=1;i<=n;i++)
m[i][i]=0;  //单个矩阵相乘次数为0

for(r=2;r<=n;r++)   //r为连乘矩阵的个数
{
for(i=1;i<=n-r+1;i++)   //i就是连续r个矩阵的第一个
{
j=i+r-1;  //j就是连续r个矩阵的最后一个
m[i][j]=99999999;
for(k=i;k<j;k++)   //求m[i][j],m[i][j]就是Ai...Aj这 j-i+1 个矩阵连乘需要的最少的乘法次数
{
q=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(q<m[i][j])
{
m[i][j]=q;
s[i][j]=k;   //在k处分开是最好的
}
}
}
}
return m[1]
;   //n个矩阵连乘的最少相乘次数
}

void Print_Matrix_Chain(string A[],int s[][8],int i,int j)
{
//输出最优解
if(i == j)
cout<<A[i-1]<<" ";
else
{
cout<<"( ";
Print_Matrix_Chain(A,s,i,s[i][j]);
Print_Matrix_Chain(A,s,s[i][j]+1,j);
cout<<") ";
}
}

int main()
{
int p[7]={30,35,15,5,10,20,25};
int m[8][8],s[8][8];
int min=Matrix_chain_Multiply(p,7,m,s);
cout<<"上述6个矩阵连乘，最少需要做 "<<min<<" 次乘法运算"<<endl;
string A[6]={"A1","A2","A3","A4","A5","A6"};
cout<<"最优的全加括号形式为：";
Print_Matrix_Chain(A,s,1,6);
cout<<endl;
return 0;
}

其中p[]是保存矩阵链的row和col的

运行结果：

上述6个矩阵连乘，最少需要做 15125 次乘法运算
最优的全加括号形式为：( ( A1 ( A2 A3 ) ) ( ( A4 A5 ) A6 ) )
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