随机数生成器 (NOI 2012 第一试 第一题)
2017-10-12 18:56
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随机数生成器
(NOI 2012 第一试第一题)题目描述
栋栋最近迷上了随机算法,而随机数是生成随机算法的基础。栋栋准备使用线性同余法(Linear Congruential Method)来生成一个随机数列,这种方法需要设置四个非负整数参数m,a,c,X[0],按照下面的公式生成出一系列随机数{Xn}:
X[n+1]=(aX +c) mod m
其中mod m表示前面的数除以m的余数。从这个式子可以看出,这个序列的下一个数总是由上一个数生成的。
用这种方法生成的序列具有随机序列的性质,因此这种方法被广泛地使用,包括常用的C++和Pascal的产生随机数的库函数使用的也是这种方法。
栋栋知道这样产生的序列具有良好的随机性,不过心急的他仍然想尽快知道X
是多少。由于栋栋需要的随机数是0,1,…,g-1之间的,他需要将X
除以g取余得到他想要的数,即X
mod g,你只需要告诉栋栋他想要的数X
mod g是多少就可以了。
输入输出格式
输入格式:
输入包含6个用空格分割的整数m,a,c,X[0],n和g,其中a,c,X[0]是非负整数,m,n,g是正整数。
输出格式:
输出一个数,即X
mod g
输入输出样例
输入样例#1:
11 8 7 1 5 3
输出样例#1:
2
说明
计算得X
=X[5]=8,故(X
mod g) = (8 mod 3) = 2
100%的数据中n,m,a,c,X[0]<=10^18,g<=10^8
思路
这个题与斐波那契数列那一道题非常相似,也是按照一个线性的规则不断地更新结果来递推,我们就考虑到了矩阵加速。矩阵加速类似于快速幂,我们将初始的矩阵化为u=(data){{{},{0,x0,1},{0,0,0}}};然后将被乘的矩阵算出来,v=(data){{{},{0,a,0},{0,c,1}}};对它进行类似于快速幂的操作。
当然在题目中我们也看到了M的数据范围,在long long的最大值边界上,所以不能直接做乘法。
不能直接做乘法该怎么办呢?高精度乘法?不需要!因为最后结果需要取模,所以我们用慢速乘!
这个题实际上考了慢速乘和快速幂两个完全相似的算法的改编,NOI的题出的就是有水平!
代码
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; long long i,j,k,m,a,c,x0,x1,n,g; struct data { long long arr[3][3]; }u,v; long long r() { long long aans=0,f=1; char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0'&&ch<='9') { aans*=10; aans+=ch-'0'; ch=getchar(); } return aans*f; } long long multi(long long p,long long q) { long long res=0; for(;q;q>>=1) { if(q&1) res=(res+p)%m; p=(p<<1)%m; } return res; } data mul(data xxx,data yyy) { data zzz={{{},{0,0,0},{0,0,0}}}; for(i=1;i<=2;i++) for(j=1;j<=2;j++) for(int k=1;k<=2;k++) { zzz.arr[i][j]+=(multi(xxx.arr[i][k],yyy.arr[k][j]%m))%m; zzz.arr[i][j]%=m; } return zzz; } data ksm(long long x) { data c,d; c=v; d=(data){{{},{0,1,0},{0,0,1}}}; if(x==1) return c; while(x) { if(x&1!=0) d=mul(d,c); c=mul(c,c); x>>=1; } return d; } int main() { m=r(),a=r(),c=r(),x0=r(),n=r(),g=r(); x0%=m; x1=((a*x0)+c)%m; u=(data){{{},{0,x0,1},{0,0,0}}}; v=(data){{{},{0,a,0},{0,c,1}}}; data sum=mul(u,ksm(n)); cout<<sum.arr[1][1]%g; } /* 11 8 7 1 5 3 */
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