Leetcode 题解系列（三）

Median of Two Sorted Arrays

题目要求/There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.

Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

Example 1:
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

The median is 2.0
Example 2:
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

The median is (2 + 3)/2 = 2.5

题目分析

1. 暴力解法

直接将两个数组一起排序，在求中位数。时间复杂度O((m+n)log(m+n))或者O((m+n)2)

2. 归并法

利用归并排序的思想，对两个数组进行归并。归并不用完全做完，只需完成一半即可求得中位数。时间复杂度O((m+n)/2

3. 分割

思考：中位数既是将数组分为两半，那么只要找到一个点，可以将数组分为两个部分就好。

对于一个合乎条件的分割点，有：

+ 分割一个数组后，前一个数比另一个数组分割完后后面一个数大

+ 分割一个数组后，后一个数比另一个数组分割完后前面一个数

1. 采用朴素的移动法

每次检查分割是否符合条件，不是则向对应方向移动。代码如下

class Solution {
public:
double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
auto len1 = nums1.size(), len2 = nums2.size();
if (len1 == 0) {
return getMedian(nums2);
}
if (len2 == 0) {
return getMedian(nums1);
}
auto half = (len1 + len2 + 1) / 2;
auto sep1 = len1 / 2, sep2 = half - sep1;
std::pair<long, long> p1, p2;
for (;;) {
p1 = separate(nums1, sep1), p2 = separate(nums2, sep2);
if (p1.first <= p2.second && p2.first <= p1.second) {
b1a2

break;
} else if (p1.first > p2.second) {
sep1--;
sep2++;
} else {
sep1++;
sep2--;
}
}
long mids[4] = {p1.first, p1.second, p2.first, p2.second};
std::sort(mids, mids + 4);
if ((len1 + len2) % 2 == 0) {
return (static_cast<double>(mids[1]) + static_cast<double>(mids[2])) / 2;
}
return static_cast<double>(mids[1]);
}
std::pair<long, long> separate(std::vector<int>& nums, int pos) {
long left = std::numeric_limits<long>::min(),
right = std::numeric_limits<long>::max();
if (pos > 0 && pos <= nums.size()) {
left = nums[pos - 1];
}
if (pos >= 0 && pos < nums.size()) {
right = nums[pos];
}
return std::make_pair(left, right);
}
double getMedian(std::vector<int> nums) {
auto len = nums.size();
if (len == 0) {
return 0;
} else if (len % 2 == 0) {
return (static_cast<double>(nums[len / 2]) +
static_cast<double>(nums[len / 2 - 1])) /
2;
}
return static_cast<double>(nums[len / 2]);
}
};

2. 使用二分的方法

class Solution2 {
public:
double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
auto len1 = nums1.size(), len2 = nums2.size();
if (len1 > len2) {
return findImpl(nums2, nums1);
}
return findImpl(nums1, nums2);
}
double findImpl(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
auto len1 = nums1.size(), len2 = nums2.size();
if (len1 == 0) {
return getMedian(nums2);
}
long long half = (len1 + len2 + 1) / 2;
long long up_bound = len1 + 1, low_bound = -1;
long long sep1 = (up_bound + low_bound + 1) / 2, sep2 = half - sep1;
std::pair<long, long> p1, p2;
for (;;) {
p1 = separate(nums1, sep1), p2 = separate(nums2, sep2);
if (p1.first <= p2.second && p2.first <= p1.second) {
break;
} else if (p1.first > p2.second) {
up_bound = sep1;
} else {
low_bound = sep1;
}
sep1 = (up_bound + low_bound + 1) / 2;
sep2 = half - sep1;
}
long mids[4] = {p1.first, p1.second, p2.first, p2.second};
std::sort(mids, mids + 4);
if ((len1 + len2) % 2 == 0) {
return (static_cast<double>(mids[1]) + static_cast<double>(mids[2])) / 2;
}
return static_cast<double>(mids[1]);
}
std::pair<long, long> separate(std::vector<int>& nums, long long pos) {
long left = std::numeric_limits<long>::min(),
right = std::numeric_limits<long>::max();
if (pos > 0 && pos <= nums.size()) {
left = nums[pos - 1];
}
if (pos >= 0 && pos < nums.size()) {
right = nums[pos];
}
return std::make_pair(left, right);
}
double getMedian(std::vector<int> nums) {
auto len = nums.size();
if (len == 0) {
return 0;
} else if (len % 2 == 0) {
return (static_cast<double>(nums[len / 2]) +
static_cast<double>(nums[len / 2 - 1])) /
2;
}
return static_cast<double>(nums[len / 2]);
}
};

二分的方法理论上时间复杂度应该小于第一种，但是实际上leetcode的运行时间反而更慢了，可能是测试样例中，中位数均比较居中的缘故。