时间复杂度和空间复杂度

一.什么是时间复杂度呢？

解析：时间复杂度其实就是函数，函数计算执行的 基本操作次数。（这里的函数是指数学里面的函数，而不是C语法里的函数）

为什么时间复杂度不是计算执行的实践而是次数呢？

解析：因为我们无法计算执行的时间，比如不同的机器不同的配置，同一个算法的运行时间都是不一样的。所以我们只能在这里计算执行的次数来表示算法的性能。

首先来看一个简单的例子：



二.算法分析的分类

1.最坏情况：任意输入规模的最大运行时间（上界）

2.平均情况：任意输入规模的期望运行实践。

3.最好情况：任意输入规模的最小运行实践，通常好的情况不会出现。（下界）

例如：在一个长度为N的线性表中搜索一个数据X

最坏情况：比较N次

平均情况：比较N/2次

最好情况：比较1次

注意：在实际中我们通常情况考量的是算法的最坏的运行情况。也就是说对于任意规模的N，算法的最长运行时间。理由如下：

1.一个算法的最坏情况的运行时间是在任意输入下的运行时间的上界。

2.对于某些算法，最坏的情况出现的较为频繁

3.大体上看，平均的情况与最坏的情况一样差

算法分析要保持大局观：

1.忽略掉那些的常数

2.关注运行实践的增长趋势，关注函数式中增长最快的表达式。

三.O的渐进表示法（Big O Notation）

通常我们使用O记号法表示最坏运行情况的渐进上界。其实也就是说我们使用O标记法表示时间复杂度，一般情况关注的是算法的运行最坏的情况。

为什么关注的是最坏的情况呢，我们以上图中的F(N)=N^2+2*N+10说明：



所以这个算法的实践复杂度就是：O（N^2）

下面我们使用大O渐进表示法计算下面函数的时间复杂度

1.f(N)=N^3+N^2+N+1000,只需要关注N^3,所以O（N^3）

2.F(N)=10000*N*N+2*N+10,所以O(1000*N*N),实际是O(N^2),因为我们要忽略一些常数，看起来1000对执行结果也很有影响，不过当N足够大的时候10000就显得微不足道，可以忽略了，所以只要是常识就忽略掉

3.F（M,N）=2M+N---->:O(M+N)

4.F(M,N)=M*N----->O(M*N)

接下来我们深入了解：

1.二分查找的时间复杂度：


 

2.递归算法的时间复杂度:递归次数*递归每次走的次数



四.空间复杂度

解析：空间复杂度的计算和时间复杂度类似，也使用大O的渐进表示法。（开辟对象的个数，不是累积的个数） 

要注意的是递归算法的空间复杂度，假如递归深度为N*每次递归的空间大小，如果每次递归的空间为常数，则空间复杂度为O(N) 

首先我们来看：以斐波那契数列的时间复杂度和空间复杂度



总结来看就是如下公式：



代码实现如下：

int fib(int N)
{
return N > 1 ? fib(n - 1) + fib(n - 2) : N;
}

其时间复杂度和空间复杂度在下面图示中。

例： 1.


+、