洛谷Oj-能量项链-区间DP

问题描述：

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为m*r*n（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。

需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：

(4⊕1)=10*2*3=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为

((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

AC代码（递推）：

int a[300],dp[300][300];
int main()
{
int n;
//输入
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
int t;
scanf("%d",&t);
a[i] = a[n + i] = t;//将环拆成链
}
for(int i = 1; i <= n; ++i)//初始化，自己无法与自己合并，因此释放的能量为0（起思路清晰作用，实际上dp[i][i]的值本来就是0）
dp[i][i] = 0;
for(int l = 2; l <= n; ++l)//枚举区间长度
for(int i = 1; l + i - 1 <= 2 *n - 1; ++i)//枚举区间起点。注意i <= n错！！！
{
int j = l + i - 1;//计算区间终点
for(int k = i; k <= j - 1; ++k)//枚举区间内的点，作为分隔点
//计算释放出的能量是关键
dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i][k] + dp[k + 1][j] + a[i] * a[k + 1] * a[j + 1]);
}
int ans = -inf;
for(int i = 1; i <= n; ++i)//找出最大值
ans = max(ans,dp[i][n + i - 1]);
cout << ans << endl;
return 0;
}

AC代码（记忆化搜索）：

int a[210],dp[210][210];
int dfs(int i,int j)
{
if(dp[i][j])//直接返回
return dp[i][j];
if(i == j)//边界条件，自己无法和自己合并，因此释放的能量为0
return 0;
for(int k = i; k <= j - 1; ++k)//以k为分隔点
dp[i][j] = max(dp[i][j],dfs(i,k) + dfs(k + 1,j) + a[i] * a[k + 1] * a[j + 1]);//记忆化
return dp[i][j];
}
int main()
{
int n;
//输入
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
int t;
scanf("%d",&t);
a[i] = a[n + i] = t;//将环拆成链
}
int ans = -inf;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
ans = max(ans,dfs(i,i + n - 1));//保证区间[i,i + n - 1]的长度为n
cout << ans << endl;
return 0;
}

解决方法：

这道题是区间DP，乍一看会觉得和石子合并的问题很相似。

DP的模板好套，就是需要注意的细节很多。

比较难写的就是合并珠子释放能量的语句

a[i] * a[k + 1] * a[j + 1]

画图可得，两个大珠子是由区间内若干个小珠子合并而成的，又联系a[i]的意义，所以得出如上的公式

大区间的最优解由小区间的最优解得来，基于分治的思想，我们不断划分区间，直到区间内只有一个元素，枚举它们的组合，求得所有情况合并后的最优值。

通过小区间更新大区间，最终获得指定区间的最优值

dp[i][j]的含义是区间[i,j]内元素合并所获得的最大收益

区间DP大体框架如上代码