一道多路归并算法分析的题目

将N条长度均为M的有序链表进行合并，合并以后的链表也保持有序，时间复杂度为()?

A.O(N * M * logN)

B.O(N*M)

C.O(N)

D.O(M)

答案为A

一道牛客上的题目，答住philian提出用归并算法来解，首先归并算法的时间复杂度。

第一种解法：

T(1) = 1
T(n) = 2T(n/2) + n
T(n/2)/(n/2) = T(n/4)/(n/4) +1
T(n/4)/(n/4) = T(n/8)/(n/8) +1
.
.
.
T(2)/2 = T(1) +1

将左侧右侧分别相加，消除掉得到T(n) /n = T(1)+logn=>T(n)=nlogn+n=O(nlogn)

第二种解法：

T(n) = 2T(n/2) + n
2T(n/2) = 2(2(T(n/4))+n/2) = 4T(n/4)+n
T(n) = 4T(n/4) + 2n
4T(n/4) = 4(2(T(n/8))+n/4) = 8T(n/8)+n
T(n) = 8T(n/8)+ 3n
类推得
T(n) = 2^k(n/2^k) + kn
明显k=logn
T(n) = nT(1)+nlogn = nlogn + n

回到本题，因为长度为M的子序列都已经有序，就相当于把上述从n到1的递归截了一块儿，截掉了M到1的递归部分，因此需要用总的时间复杂度减掉这被截去的一块儿。

n=N*M，因此如果递归到1，时间复杂度应为O（N*M*log（N*M））

而如果n=M，那么递归到1的时间复杂度为O（M*logM），共有N段这样的子序列，因此加起来需要O（N*M*logM）的时间

前后相减，O（N*M*log（N*M）- N*M*logM）=O（N*M*logN）