整数与浮点数的表示

有符号整数

首先约定数的真值：一个n位的二进制数a=(±)xn−1xn−2...x0，如果不使用符号，则默认认为是正数。真值没有符号位。

三种编码方式

原码（符号与幅值，sign and magnitude）

一个n位的二进制原码表示的数，第1位是符号位，后面n−1位是数的绝对值。原码的缺点在于有两个0：符号位分别为1和0，其他位均为0时。

反码（one’s complement）

反码是作为原码和补码之间的一种过渡。在反码表示法中，一个数的相反数就是将其每一位取反。因此第一位也是符号位。正数的反码与其原码相同，负数的反码的符号位为1（负号），其余的位将真值的每一位取反。

补码

补码是硬件使用的编码。对于正数，补码与其原码相同；负数的补码，是其反码的最低位再加上一。

虽然n位有符号整数的补码真值使用公式x补=−2n−1xn−1+∑n−2i=02ixi计算，但是同样满足最高位xn−1确定符号。

对于使用补码的有符号整数，其取值范围是x∈[−2n−1,2n−1−1]

符号扩展（sign extension）

对于一个有限位数的有符号整数的补码表示，以复制符号位的方式将其扩展到更高的位数，叫做符号扩展。比如将210的16位补码表示

0000,0000,0000,0010

进行符号扩展：（符号位为0进行复制）

0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0010

又比如将−210的16位补码表示

1111,1111,1111,1110

进行符号扩展：（符号位为1进行复制）

1111,1111,1111,1111,1111,1111,1111,1110

注意

注意区分由原码、反码计算补码(p.21)和由补码计算其相反数的补码(p.28)

由原码计算补码，要区分正负号；正数的补码和原码相同；负数的补码，先将原码的非符号位全部按位取反得到反码，然后再加1得到补码；

对一个数的补码计算其相反数的补码，只需要对其所有位按位取反，然后再加上1就可以了。

无符号整数

无符号整数不包含符号位，所有的位数直接按照二进制表示存储真值。

n位无符号整数的取值范围x∈[0,2n−1]

浮点数（IEEE754标准）

IEEE754标准的浮点数按照三部分构成S|E|M

在规格化表示时其真值为x=(−1)S(1+M)⋅2E−127

以32位浮点数(C语言中的

float

类型)为例：

第1位为符号位S，0代表正数，1代表负数；

第2~9位（共8位）为阶码（指数部分）。在IEEE754标准中，阶码按照移码的方式存储，E=e+127，其中e是真实的指数。阶码的存储范围是0<E<255(开区间，E=0,255有特殊含义)因此实际指数范围−126<e<127，决定了32位浮点数的取值范围2−127−1<±x<2127+1≈3.4×1038(其中尾数的特殊情况M=1.1111...≈2)

剩余23位为尾数M，决定了32位浮点数的有效数字（精度）为lg223≈6位。

浮点数不能简单使用

==

判等。

指数	尾数	意义
0	0	0
0	非0	正负规格化数
1~254	-	正负浮点数
255	0	正负无穷
255	非0	Not a Number