bzoj5020 [THUWC 2017]在美妙的数学王国中畅游
2017-09-13 08:42
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Description
数字和数学规律主宰着这个世界。机器的运转,
生命的消长,
宇宙的进程,
这些神秘而又美妙的过程无不可以用数学的语言展现出来。
这印证了一句古老的名言:
“学好数理化,走遍天下都不怕。”
学渣小R被大学的数学课程虐得生活不能自理,微积分的成绩曾是他在教室里上的课的最低分。然而他的某位陈姓室友却能轻松地在数学考试中得到满分。为了提升自己的数学课成绩,有一天晚上(在他睡觉的时候),他来到了数学王国。
数学王国中,每个人的智商可以用一个属于 [0,1]的实数表示。数学王国中有 n 个城市,编号从 0 到 n−1 ,这些城市由若干座魔法桥连接。每个城市的中心都有一个魔法球,每个魔法球中藏有一道数学题。每个人在做完这道数学题之后都会得到一个在 [0,1] 区间内的分数。一道题可以用一个从 [0,1] 映射到 [0,1]的函数 f(x) 表示。若一个人的智商为 x ,则他做完这道数学题之后会得到 f(x)分。函数 f有三种形式:
正弦函数 sin(ax+b) (a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π])
指数函数 e^(ax+b) (a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0])
一次函数 ax+b (a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1]
数学王国中的魔法桥会发生变化,有时会有一座魔法桥消失,有时会有一座魔法桥出现。但在任意时刻,只存在至多一条连接任意两个城市的简单路径(即所有城市形成一个森林)。在初始情况下,数学王国中不存在任何的魔法桥。
数学王国的国王拉格朗日很乐意传授小R数学知识,但前提是小R要先回答国王的问题。这些问题具有相同的形式,即一个智商为 x 的人从城市 u 旅行到城市 v(即经过 u 到 v 这条路径上的所有城市,包括 u和 v )且做了所有城市内的数学题后,他所有得分的总和是多少。
Input
第一行两个正整数 n,m 和一个字符串 type 。表示数学王国中共有 n 座城市,发生了 m 个事件,该数据的类型为 type 。
typet 字符串是为了能让大家更方便地获得部分分,你可能不需要用到这个输入。
其具体含义在【数据范围与提示】中有解释。
接下来 n 行,第 i 行表示初始情况下编号为 i 的城市的魔法球中的函数。
一个魔法用一个整数 f表示函数的类型,两个实数 a,b 表示函数的参数,若
f=1,则函数为 f(x)=sin(ax+b)(a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π])
f=2,则函数为 f(x)=e^(ax+b)(a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0])
f=3,则函数为 f(x)=ax+b(a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1])
接下来 m行,每行描述一个事件,事件分为四类。
appear u v 表示数学王国中出现了一条连接 u 和 v 这两座城市的魔法桥 (0≤u,v<n,u≠v) ,保证连接前 u和 v 这两座城市不能互相到达。
disappear u v 表示数学王国中连接 u 和 v 这两座城市的魔法桥消失了,保证这座魔法桥是存在的。
magic c f a b 表示城市 c 的魔法球中的魔法变成了类型为 f ,参数为 a,b 的函数
travel u v x 表示询问一个智商为 x 的人从城市 u 旅行到城市 v
(即经过 u到 v 这条路径上的所有城市,包括 u 和 v )后,他得分的总和是多少。
若无法从 u 到达 v ,则输出一行一个字符串 unreachable。
1≤n≤100000,1≤m≤200000
Output
对于每个询问,输出一行实数,表示得分的总和。Sample Input
3 7 C11 1 0
3 0.5 0.5
3 -0.5 0.7
appear 0 1
travel 0 1 0.3
appear 0 2
travel 1 2 0.5
disappear 0 1
appear 1 2
travel 1 2 0.5
Sample Output
9.45520207e-0011.67942554e+000
1.20000000e+000
正解:$link-cut \ tree$+泰勒展开。
这题好像直接$LCT$就有$55$分,不过我没机会去,而且当时还不会$LCT$。。
其实学了高数以后这道题比较简单了,我们肯定是对于每个点在$LCT$上维护一个多项式。
一次函数的多项式形式很好搞,那么$e$为底的指数函数和三角函数呢?
根据泰勒中值定理,
上面这个式子是蒯的百度百科。。
$e^{x}$一阶导数就是$e^{x}$,同理,$n$阶导数也是$e^{x}$。
$sin(x)$的一阶导数是$cos(x)$,$cos(x)$的一阶导数是$-sin(x)$,$-sin(x)$的一阶导数是$-cos(x)$,$-cos(x)$的一阶导数是$sin(x)$,所以$sin(x)$的$n$阶导数$4$个一循环。
然后我们把$b$当成$x0$,于是$e^{x}=e^{b}+\frac{e^{b}ax}{1!}+\frac{e^{b}a^{2}x^{2}}{2!}+\frac{e^{b}a^{3}x^{3}}{3!}+...+\frac{e^{b}a^{n}x^{n}}{n!}$
$sin(x)=sin(b)+\frac{cos(b)ax}{1!}-\frac{sin(b)a^{2}x^{2}}{2!}-\frac{cos(b)a^{3}x^{3}}{3!}+\frac{sin(b)a^{4}x^{4}}{4!}+...$
大概展开$14$层就能保证精度了。
#include <bits/stdc++.h> #define il inline #define RG register #define ll long long #define N (100010) using namespace std; int ch [2],fa ,st ,rev ,n,m; double sum [15],val [15],a,b; char str[12]; il int gi(){ RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar(); while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar(); if (ch=='-') q=-1,ch=getchar(); while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return q*x; } il int isroot(RG int x){ return ch[fa[x]][0]!=x && ch[fa[x]][1]!=x; } il void pushup(RG int x){ for (RG int i=0;i<=14;++i) sum[x][i]=sum[ch[x][0]][i]+sum[ch[x][1]][i]+val[x][i]; return; } il void pushdown(RG int x){ rev[x]=0,swap(ch[x][0],ch[x][1]); rev[ch[x][0]]^=1,rev[ch[x][1]]^=1; return; } il void rotate(RG int x){ RG int y=fa[x],z=fa[y],k=ch[y][0]==x; if (!isroot(y)) ch[z][ch[z][1]==y]=x; fa[x]=z,ch[y][k^1]=ch[x][k],fa[ch[x][k]]=y; ch[x][k]=y,fa[y]=x,pushup(y),pushup(x); return; } il void splay(RG int x){ RG int top=0; st[++top]=x; for (RG int i=x;!isroot(i);i=fa[i]) st[++top]=fa[i]; for (RG int i=top;i;--i) if (rev[st[i]]) pushdown(st[i]); while (!isroot(x)){ RG int y=fa[x],z=fa[y]; if (!isroot(y)){ if ((ch[z][0]==y)^(ch[y][0]==x)) rotate(x); else rotate(y); } rotate(x); } return; } il void access(RG int x){ RG int t=0; while (x){ splay(x),ch[x][1]=t; pushup(x),t=x,x=fa[x]; } return; } il void makeroot(RG int x){ access(x),splay(x),rev[x]^=1; return; } il void link(RG int x,RG int y){ makeroot(x),fa[x]=y; return; } il void cut(RG int x,RG int y){ makeroot(x),access(y),splay(y); ch[y][0]=fa[x]=0,pushup(y); return; } il int find(RG int x){ access(x),splay(x); while (ch[x][0]) x=ch[x][0]; return x; } il double query(RG int x,RG int y,RG double a){ makeroot(x),access(y),splay(y); RG double res=0,s=1; for (RG int i=0;i<=14;++i) res+=s*sum[y][i],s*=a; return res; } il void make1(RG int i,RG double a,RG double b){ memset(val[i],0,sizeof(val[i])); RG double inv=1,s=1,S=sin(b),C=cos(b); val[i][0]=S; for (RG int j=1;j<=12;j+=4){ inv*=j,s*=a,val[i][j]=C*s/inv; inv*=(j+1),s*=a,val[i][j+1]=-S*s/inv; inv*=(j+2),s*=a,val[i][j+2]=-C*s/inv; inv*=(j+3),s*=a,val[i][j+3]=S*s/inv; } inv*=13,s*=a,val[i][13]=C*s/inv; inv*=14,s*=a,val[i][14]=-S*s/inv; return; } il void make2(RG int i,RG double a,RG double b){ memset(val[i],0,sizeof(val[i])); RG double inv=1,ex=exp(b),s=1; val[i][0]=ex; for (RG int j=1;j<=14;++j) inv*=j,s*=a,val[i][j]=ex*s/inv; return; } il void make3(RG int i,RG double a,RG double b){ memset(val[i],0,sizeof(val[i])); val[i][1]=a,val[i][0]=b; return; } int main(){ #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("math.in","r",stdin); freopen("math.out","w",stdout); #endif n=gi(),m=gi(),scanf("%s",str); for (RG int i=1,f;i<=n;++i){ f=gi(),scanf("%lf%lf",&a,&b); if (f==1) make1(i,a,b); if (f==2) make2(i,a,b); if (f==3) make3(i,a,b); } for (RG int i=1,f,x,u,v;i<=m;++i){ scanf("%s",str); if (str[0]=='a') u=gi()+1,v=gi()+1,link(u,v); if (str[0]=='d') u=gi()+1,v=gi()+1,cut(u,v); if (str[0]=='m'){ x=gi()+1,f=gi(),scanf("%lf%lf",&a,&b); makeroot(x); if (f==1) make1(x,a,b); if (f==2) make2(x,a,b); if (f==3) make3(x,a,b); pushup(x); } if (str[0]=='t'){ u=gi()+1,v=gi()+1,scanf("%lf",&a); if (find(u)!=find(v)) puts("unreachable"); else printf("%0.8e\n",query(u,v,a)); } } return 0; }
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