最长上升子序列(LIS)长度的O(nlogn)算法

hdu 1950 Bridging signals

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1950

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最长上升子序列（LIS）的典型变形，熟悉的n^2的动归会超时。LIS问题可以优化为nlogn的算法。

定义d[k]:长度为k的上升子序列的最末元素，若有多个长度为k的上升子序列，则记录最小的那个最末元素。

注意d中元素是单调递增的，下面要用到这个性质。

首先len = 1,d[1] = a[1],然后对a[i]:若a[i]>d[len]，那么len++，d[len] = a[i];

否则，我们要从d[1]到d[len-1]中找到一个j，满足d[j-1]<a[i]<d[j],则根据D的定义，我们需要更新长度为j的上升子序列的最末元素（使之为最小的）即 d[j] = a[i];

最终答案就是len

利用d的单调性，在查找j的时候可以二分查找，从而时间复杂度为nlogn。

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最长上升子序列nlogn算法

在川大oj上遇到一道题无法用n^2过于是，各种纠结，最后习得nlogn的算法

最长递增子序列，Longest Increasing Subsequence 下面我们简记为 LIS。

排序+LCS算法 以及 DP算法就忽略了，这两个太容易理解了。

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。n

下面一步一步试着找出它。

我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。

此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

/*
HDU 1950 Bridging signals
-----最长上升子序列nlogn算法
*/

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 40005

int arr[MAXN], ans[MAXN], len;

/*
二分查找。 注意，这个二分查找是求下界的; (什么是下界？详情见《算法入门经典》 P145)
即返回 >= 所查找对象的第一个位置（想想为什么）

也可以用STL的lowe_bound二分查找求的下界
*/

int binary_search(int i)
{
int left, right, mid;
left = 0, right = len;
while (left < right)
{
mid = left + (right - left) / 2;
if (ans[mid] >= arr[i])
{
right = mid;
}
else
{
left = mid + 1;
}
}
return left;
}

int main()
{
int T, p, i;
scanf("%d", &T);
while (T--)
{
scanf("%d", &p);
for (i = 1; i <= p; ++i)
{
scanf("%d", &arr[i]);
}

ans[1] = arr[1];
len = 1;
for (i = 2; i <= p; ++i)
{
if (arr[i] > ans[len])
{
ans[++len] = arr[i];
}
else
{
int pos = binary_search(i); // 如果用STL： pos=lower_bound(ans,ans+len,arr[i])-ans;
ans[pos] = arr[i];
}
}
printf("%d\n", len);
}
return 0;
}