动态规划思想:石子合并问题
2017-09-11 18:05
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描述:
在一个圆形操场的四周摆放着n 堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。
规定每次只能选相邻的2 堆石子合并成新的一堆,并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。
试设计一个算法,计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。
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开始以为通过贪心算法可能很快解决问题,可是是行不通的。
首先我们可以把这么堆石子看成一列
我们假如5堆的石子,其中石子数分别为7,6,5,7,100
•按照贪心法,合并的过程如下:
每次合并得分
第一次合并 7 6 5 7 100 =11
第二次合并 7 11 7 100=18
第三次合并 18 7 100 =25
第四次合并 25 100 =125
总得分=11+18+25+125=179
•另一种合并方案
每次合并得分
第一次合并 7 6 5 7 100 ->13
第二次合并 13 5 7 100->12
第三次合并 13 12 100 ->25
第四次合并 25 100 ->125
总得分=13+12+25+125=175
显然利用贪心来做是错误的,贪心算法在子过程中得出的解只是局部最优,而不能保证使得全局的值最优。
如果N-1次合并的全局最优解包含了每一次合并的子问题的最优解,那么经这样的N-1次合并后的得分总和必然是最优的。
因此我们需要通过动态规划算法来求出最优解。
在此我们假设有n堆石子,一字排开,合并相邻两堆的石子,每合并两堆石子得到一个分数,最终合并后总分数最少的。
我们设m(i,j)定义为第i堆石子到第j堆石子合并后的最少总分数。a(i)为第i堆石子得石子数量。
当合并的石子堆为1堆时,很明显m(i,i)的分数为0;
当合并的石子堆为2堆时,m(i,i+1)的分数为a(i)+a(i+1);
当合并的石子堆为3堆时,m(i,i+2)的分数为MIN((m(i,i)+m(i+1,i+2)+sum(i,i+2)),(m(i,i+1)+m(i+2,i+2)+sum(i,i+2));
当合并的石子堆为4堆时......
代码实现如下:
开始以为通过贪心算法可能很快解决问题,可是是行不通的。
首先我们可以把这么堆石子看成一列
我们假如5堆的石子,其中石子数分别为7,6,5,7,100
•按照贪心法,合并的过程如下:
每次合并得分
第一次合并 7 6 5 7 100
a632
=11
第二次合并 7 11 7 100=18
第三次合并 18 7 100 =25
第四次合并 25 100 =125
总得分=11+18+25+125=179
•另一种合并方案
每次合并得分
第一次合并 7 6 5 7 100 ->13
第二次合并 13 5 7 100->12
第三次合并 13 12 100 ->25
第四次合并 25 100 ->125
总得分=13+12+25+125=175
显然利用贪心来做是错误的,贪心算法在子过程中得出的解只是局部最优,而不能保证使得全局的值最优。
如果N-1次合并的全局最优解包含了每一次合并的子问题的最优解,那么经这样的N-1次合并后的得分总和必然是最优的。
因此我们需要通过动态规划算法来求出最优解。
在此我们假设有n堆石子,一字排开,合并相邻两堆的石子,每合并两堆石子得到一个分数,最终合并后总分数最少的。
我们设m(i,j)定义为第i堆石子到第j堆石子合并后的最少总分数。a(i)为第i堆石子得石子数量。
当合并的石子堆为1堆时,很明显m(i,i)的分数为0;
当合并的石子堆为2堆时,m(i,i+1)的分数为a(i)+a(i+1);
当合并的石子堆为3堆时,m(i,i+2)的分数为MIN((m(i,i)+m(i+1,i+2)+sum(i,i+2)),(m(i,i+1)+m(i+2,i+2)+sum(i,i+2));
当合并的石子堆为4堆时......
代码实现如下:
开始以为通过贪心算法可能很快解决问题,可是是行不通的。
首先我们可以把这么堆石子看成一列
我们假如5堆的石子,其中石子数分别为7,6,5,7,100
•按照贪心法,合并的过程如下:
每次合并得分
第一次合并 7 6 5 7 100 =11
第二次合并 7 11 7 100=18
第三次合并 18 7 100 =25
第四次合并 25 100 =125
总得分=11+18+25+125=179
•另一种合并方案
每次合并得分
第一次合并 7 6 5 7 100 ->13
第二次合并 13 5 7 100->12
第三次合并 13 12 100 ->25
第四次合并 25 100 ->125
总得分=13+12+25+125=175
显然利用贪心来做是错误的,贪心算法在子过程中得出的解只是局部最优,而不能保证使得全局的值最优。
如果N-1次合并的全局最优解包含了每一次合并的子问题的最优解,那么经这样的N-1次合并后的得分总和必然是最优的。
因此我们需要通过动态规划算法来求出最优解。
在此我们假设有n堆石子,一字排开,合并相邻两堆的石子,每合并两堆石子得到一个分数,最终合并后总分数最少的。
我们设m(i,j)定义为第i堆石子到第j堆石子合并后的最少总分数。a(i)为第i堆石子得石子数量。
当合并的石子堆为1堆时,很明显m(i,i)的分数为0;
当合并的石子堆为2堆时,m(i,i+1)的分数为a(i)+a(i+1);
当合并的石子堆为3堆时,m(i,i+2)的分数为MIN((m(i,i)+m(i+1,i+2)+sum(i,i+2)),(m(i,i+1)+m(i+2,i+2)+sum(i,i+2));
当合并的石子堆为4堆时......
代码实现如下:
#include<stdio.h> #define N 100 /* *求合并过程中 *最少合并堆数目 **/ int MatrixChain_min(int p ,int n) { //定义二维数组m[i][j]来记录i到j的合并过成中最少石子数目 //此处赋值为-1 int m ; for(int x=1;x<=n;x++) for(int z=1;z<=n;z++) { m[x][z]=-1; } int min=0; //当一个单独合并时,m[i][i]设为0,表示没有石子 for(int g = 1;g<=n;g++) m[g][g]=0; //当相邻的两堆石子合并时,此时的m很容易可以看出是两者之和 for(int i=1;i<=n-1;i++) { int j=i+1; m[i][j]=p[i]+p[j]; } //当相邻的3堆以及到最后的n堆时,执行以下循环 for(int r=3; r<=n;r++) for(int i=1;i<=n-r+1;i++) { int j = i+r-1; //j总是距离i r-1的距离 int sum=0; //当i到j堆石子合并时最后里面的石子数求和得sum for(int b=i;b<=j;b++) sum+=p[b]; // 此时m[i][j]为i~j堆石子间以m[i][i]+m[i+1][j]+sum结果,这是其中一种可能,不一定是最优 //要与下面的情况相比较,唉,太详细了 m[i][j] = m[i+1][j]+sum; //除上面一种组合情况外的其他组合情况 for(int k=i+1;k<j;k++) { int t=m[i][k]+m[k+1][j]+sum; if(t<m[i][j]) m[i][j] = t; } } //最终得到最优解 min=m[1] ; return min; } /* *求合并过程中 *最多合并堆数目 **/ int MatrixChain_max(int p ,int n) { int m ; for(int x=1;x<=n;x++) for(int z=1;z<=n;z++) { m[x][z]=-1; } int max=0; //一个独自组合时 for(int g = 1;g<=n;g++) m[g][g]=0; //两个两两组合时 for(int i=1;i<=n-1;i++) { int j=i+1; m[i][j]=p[i]+p[j]; } for(int r=3; r<=n;r++) for(int i=1;i<=n-r+1;i++) { int j = i+r-1; int sum=0; for(int b=i;b<=j;b++) sum+=p[b]; m[i][j] = m[i+1][j]+sum; for(int k=i+1;k<j;k++) { int t=m[i][k]+m[k+1][j]+sum; if(t>m[i][j]) m[i][j] = t; } } max=m[1] ; return max; } int main() { int stone ; int min=0; int max=0; int n; scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&stone[i]); min= MatrixChain_min(stone,n); max= MatrixChain_max(stone,n); //因为题目要求圆的原因,要把所有情况都要考虑到,总共有n种情况。 for(int j=1;j<=n-1;j++) { int min_cache=0; int max_cache=0; int cache= stone[1]; for(int k=2;k<=n;k++) { stone[k-1]=stone[k]; } stone =cache; min_cache= MatrixChain_min(stone,n); max_cache= MatrixChain_max(stone,n); if(min_cache<min) min=min_cache; if(max_cache>max) max=max_cache; } printf("%d\n",min); printf("%d\n",max); return 1; }
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