数学竞赛中数论问题及几何解题心得分享
2017-09-04 16:17
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1.奇偶性
- [ ] 奇+奇=偶 奇×奇=奇
- [ ] 奇+偶=奇奇×偶=偶
- [ ] 偶+偶=偶偶×偶=偶
2.位值原则
- [ ] 形如:abc =100a+10b+c
3.数的整除特征:
- [ ] 整除数特征
- [ ] 2 末尾是0、2、4、6、8
- [ ] 3 各数位上数字的和是3的倍数
- [ ] 5 末尾是0或5
- [ ] 9 各数位上数字的和是9的倍数
- [ ] 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和,两者之差是11的倍数
- [ ] 4和25 末两位数是4(或25)的倍数
- [ ] 8和125 末三位数是8(或125)的倍数
- [x] 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数
4.整除性质
- [ ] ①如果c|a、c|b,那么c|(a b)。
- [ ] ②如果bc|a,那么b|a,c|a。
- [ ] ③如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。
- [ ] ④如果c|b,b|a,那么c|a.
- [ ] ⑤ a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
5.带余除法
- [ ] 一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r,0≤r<b,使得a=b×q+r
- [ ] 当r=0时,我们称a能被b整除。
- [ ] 当r≠0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0≤r<b a=b×q+r
6. 唯一分解定理
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即
n= p1 × p2 ×...×pk
7. 约数个数与约数和定理
设自然数n的质因子分解式如n= p1× p2 ×...×pk 那么:
n的约数个数:d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
n的所有约数和:(1+P1+P1+…p1 )(1+P2+P2 +…p2 )…(1+Pk+Pk +…pk )
8. 同余定理
① 同余定义:若两个整数a,b被自然数m除有相同的余数,那么称a,b对于模m同余,用式子表示为a≡b(mod m)
②若两个数a,b除以同一个数c得到的余数相同,则a,b的差一定能被c整除。
③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。
⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
9.完全平方数性质
①平方差: A -B=(A+B)(A-B),其中我们还得注意A+B, A-B同奇偶性。
②约数:约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
③质因数分解:把数字分解,使他满足积是平方数。
④平方和。
10.孙子定理(中国剩余定理)
11.辗转相除法
12.数论解题的常用方法:
枚举、归纳、反证、构造、配对、估计
- [ ] 奇+奇=偶 奇×奇=奇
- [ ] 奇+偶=奇奇×偶=偶
- [ ] 偶+偶=偶偶×偶=偶
2.位值原则
- [ ] 形如:abc =100a+10b+c
3.数的整除特征:
- [ ] 整除数特征
- [ ] 2 末尾是0、2、4、6、8
- [ ] 3 各数位上数字的和是3的倍数
- [ ] 5 末尾是0或5
- [ ] 9 各数位上数字的和是9的倍数
- [ ] 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和,两者之差是11的倍数
- [ ] 4和25 末两位数是4(或25)的倍数
- [ ] 8和125 末三位数是8(或125)的倍数
- [x] 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数
4.整除性质
- [ ] ①如果c|a、c|b,那么c|(a b)。
- [ ] ②如果bc|a,那么b|a,c|a。
- [ ] ③如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。
- [ ] ④如果c|b,b|a,那么c|a.
- [ ] ⑤ a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
5.带余除法
- [ ] 一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r,0≤r<b,使得a=b×q+r
- [ ] 当r=0时,我们称a能被b整除。
- [ ] 当r≠0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0≤r<b a=b×q+r
6. 唯一分解定理
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即
n= p1 × p2 ×...×pk
7. 约数个数与约数和定理
设自然数n的质因子分解式如n= p1× p2 ×...×pk 那么:
n的约数个数:d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
n的所有约数和:(1+P1+P1+…p1 )(1+P2+P2 +…p2 )…(1+Pk+Pk +…pk )
8. 同余定理
① 同余定义:若两个整数a,b被自然数m除有相同的余数,那么称a,b对于模m同余,用式子表示为a≡b(mod m)
②若两个数a,b除以同一个数c得到的余数相同,则a,b的差一定能被c整除。
③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。
⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
9.完全平方数性质
①平方差: A -B=(A+B)(A-B),其中我们还得注意A+B, A-B同奇偶性。
②约数:约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
③质因数分解:把数字分解,使他满足积是平方数。
④平方和。
10.孙子定理(中国剩余定理)
11.辗转相除法
12.数论解题的常用方法:
枚举、归纳、反证、构造、配对、估计
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