用递归法:设计算法求解汉诺塔问题,并编程实现。 (1) Hanoi(汉诺)塔问题分析 这是一个古典的数学问题,是一个用递归方法解题的典型例子。问题是这样的:古代有一个梵塔,塔内有3个座 A,B,C
2014-11-11 18:31
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用递归法:设计算法求解汉诺塔问题,并编程实现。
(1) Hanoi(汉诺)塔问题分析
这是一个古典的数学问题,是一个用递归方法解题的典型例子。问题是这样的:古代有一个梵塔,塔内有3个座 A,B,C。开始时A座上有64个盘子,盘子大小不等,大的在下,小的在上。有一个老和尚想把这64个盘子从A座移到C座,但规定每次只允许移动一个盘子,且在移动过程中在3个座上都始终保持大盘在下,小盘在上。在移动过程中可以利用B座。要求编程序输出移动盘子的步骤。
(2)解题思路:
要把64个盘子从A座移动到C座,需要移动大约 264 次盘子。一般人是不可能直接确定移动盘子的每一个具体步骤的。可以试验一下:按上面的规定将5个盘子从A座移到C座,能否直接写出每一步骤?
换个角度思维:把看似复杂的问题简单化,使问题得以迎刃而解。第一个和尚这样想:假如有第2个和尚能有办法将上面的63个盘子从一个座移到另一座,那么问题就解决了。此时第一个和尚只须这样做:
① 命令第2个和尚将63个盘子从A座移到B座;
② 自己将1个盘子(最底下的、最大的盘子)从A座移到C座;
③ 再命令第2个和尚将63个盘子从B座移到C座。
至此,全部任务完成了,这就是递归方法。但是,有一个问题实际上尚未解决:第2个和尚怎样才能将63个盘子从A座移到B座? 为了解决这个问题,第2个和尚又想:如果有第3个和尚能将62个盘子 从一个座移到另一座,我就能将63个盘子从A座移到B座,第2个和尚只须这样做:
① 命令第3个和尚将62个盘子从A座移到 C 座;
② 自己将1个盘子从A座移到 B 座;
③ 再命令第3个和尚将62个盘子从 C 座移到 B 座;
如此递归下去,层层下放,直到后来找到第63个和尚,让他完成将2个盘子从一个座移到另一座;最后找到第64个和尚,让他完成将1个盘子从一个座移到另一座,至此,全部工作都已落实,都是可以执行的。
递归结束的条件是最后一个和尚只须移动一个盘子。
只有第64个和尚的任务完成后,第63个和尚的任务才能完成。只有第2至64个和尚任务都完成后,第1个和尚的任务才能完成。这是一个典型的递归问题。
编写程序:
分别用两个函数实现以上的两类操作,用hanoi函数实现上面第1类操作(即模拟小和尚的任务),用move函数实现上面第2类操作(模拟大和尚自己移盘)。
函数调用Hanoi(n,one,two,three)表示将n个盘子从one座移到three 座的过程(借助two座)。
函数调用Move(x,y)表示将1个盘子从x座移到y座的过程。x和y 是代表A,B,C座之一,根据每次不同情况分别取A,B,C代入。
代码实现:
运行结果:
(1) Hanoi(汉诺)塔问题分析
这是一个古典的数学问题,是一个用递归方法解题的典型例子。问题是这样的:古代有一个梵塔,塔内有3个座 A,B,C。开始时A座上有64个盘子,盘子大小不等,大的在下,小的在上。有一个老和尚想把这64个盘子从A座移到C座,但规定每次只允许移动一个盘子,且在移动过程中在3个座上都始终保持大盘在下,小盘在上。在移动过程中可以利用B座。要求编程序输出移动盘子的步骤。
(2)解题思路:
要把64个盘子从A座移动到C座,需要移动大约 264 次盘子。一般人是不可能直接确定移动盘子的每一个具体步骤的。可以试验一下:按上面的规定将5个盘子从A座移到C座,能否直接写出每一步骤?
换个角度思维:把看似复杂的问题简单化,使问题得以迎刃而解。第一个和尚这样想:假如有第2个和尚能有办法将上面的63个盘子从一个座移到另一座,那么问题就解决了。此时第一个和尚只须这样做:
① 命令第2个和尚将63个盘子从A座移到B座;
② 自己将1个盘子(最底下的、最大的盘子)从A座移到C座;
③ 再命令第2个和尚将63个盘子从B座移到C座。
至此,全部任务完成了,这就是递归方法。但是,有一个问题实际上尚未解决:第2个和尚怎样才能将63个盘子从A座移到B座? 为了解决这个问题,第2个和尚又想:如果有第3个和尚能将62个盘子 从一个座移到另一座,我就能将63个盘子从A座移到B座,第2个和尚只须这样做:
① 命令第3个和尚将62个盘子从A座移到 C 座;
② 自己将1个盘子从A座移到 B 座;
③ 再命令第3个和尚将62个盘子从 C 座移到 B 座;
如此递归下去,层层下放,直到后来找到第63个和尚,让他完成将2个盘子从一个座移到另一座;最后找到第64个和尚,让他完成将1个盘子从一个座移到另一座,至此,全部工作都已落实,都是可以执行的。
递归结束的条件是最后一个和尚只须移动一个盘子。
只有第64个和尚的任务完成后,第63个和尚的任务才能完成。只有第2至64个和尚任务都完成后,第1个和尚的任务才能完成。这是一个典型的递归问题。
编写程序:
分别用两个函数实现以上的两类操作,用hanoi函数实现上面第1类操作(即模拟小和尚的任务),用move函数实现上面第2类操作(模拟大和尚自己移盘)。
函数调用Hanoi(n,one,two,three)表示将n个盘子从one座移到three 座的过程(借助two座)。
函数调用Move(x,y)表示将1个盘子从x座移到y座的过程。x和y 是代表A,B,C座之一,根据每次不同情况分别取A,B,C代入。
代码实现:
/* 递归演示汉诺塔移动过程(设最上面的一个盘子为第1个盘子) */ #include<stdio.h> //Show the movement of the n-th plate void move(int n, int x, int y){ printf("the %dth plate from %c to %c\n",n,x+65,y+65); } //将n个盘子从A座移到C座的过程(借助B座) void hanoi(int n, int A, int B, int C){ if(n==1) move(n,A,C); else{ hanoi(n-1,A,C,B); move(n,A,C); hanoi(n-1,B,A,C); } } //The main function int main() { int n; //Hanoi's total plates printf("Assuming the top plate is the first plate\nplease input the number of plate : "); scanf("%d",&n); hanoi(n,0,1,2); }
运行结果:
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