背包问题

01背包：

01背包的状态转换方程：f(i, j) = max{f(i-1, j), f(i - 1, j - wi) + vi (j >= wi) }

f(i, j)表示在前i件物品中选择若干件物品放入承重为j的背包中，可以取得的最大价值，其中vi表示第i件物品的价值。其实也就是从f(i-1, j)到f(i, j)的过程中，判断是否应该放入第i件物品。

例：（原题：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=860，改成简单版了）

有N个重量和价值分别为wi 和 vi 的 物品，从这些物品中选择总重量不超过 W 的物品，求所有挑选方案中物品价值总和的最大值。　　

1 <= N <=100
1 <= W <= 1000
1 <= wi <= 10
1 <= vi <= 100

输入

多组测试数据。

每组测试数据第一行输入，N 和 W ，接下来有N行，每行输入两个数，代表第i个物品的wi 和 vi。

每组测试数据第一行

输出

满足题意的最大价值，每组测试数据占一行。

提供两组测试数据：

5 10
4 6
5 4
6 5
2 3
2 6

结果15

4 5
2 3
1 2
3 4
2 2

结果7

import java.util.Scanner;

/**
* @create 2017-09-04 8:51
*/
public class Main {
public static int N, W;

public static int process(Item[] items) {
int[][] h = new int[items.length][W + 1];
for (int i = 0; i < items.length; i++) {
for (int j = 1; j < W + 1; j++) {
if (i == 0) {
if (items[i].w <= j) {
h[i][j] = items[i].v;
}
} else {
if (items[i].w <= j) {
h[i][j] = Math.max(h[i - 1][j], h[i - 1][j - items[i].w] + items[i].v);
} else {
h[i][j] = h[i - 1][j];
}
}
}
}
return h[items.length - 1][W];
}

public static void main(String[] args) {
Scanner input = new Scanner(System.in);
while (input.hasNext()) {
N = input.nextInt();
W = input.nextInt();
Item[] items = new Item
;
for (int i = 0; i < N; i++) {
items[i] = new Item(input.nextInt(), input.nextInt());
}
System.out.println(process(items));
}
input.close();
}

static class Item {
int w;
int v;

public Item(int w, int v) {
this.w =  w;
this.v = v;
}
}
}

当然，可以进行空间压缩，将二维数组转换为一维数组。此时状态转换方程为

f(j) = max(f(j), f(j-wi) + vi)) (j >= wi)

此时背包容量采用倒序进行计算

import java.util.Scanner;

/**
* @create 2017-09-04 8:51
*/
public class Main {
public static int N, W;

public static int process(Item[] items) {
int[] h = new int[W + 1];
for (int i = 0; i < items.length; i++) {
for (int j = W; j >= items[i].w; j--) {
h[j] = Math.max(h[j], h[j-items[i].w] + items[i].v);
}
}

return h[W];
}

public static void main(String[] args) {
Scanner input = new Scanner(System.in);
while (input.hasNext()) {
N = input.nextInt();
W = input.nextInt();
Item[] items = new Item
;
for (int i = 0; i < N; i++) {
items[i] = new Item(input.nextInt(), input.nextInt());
}
System.out.println(process(items));
}
input.close();
}

static class Item {
int w;
int v;

public Item(int w, int v) {
this.w =  w;
this.v = v;
}
}
}

二维背包：

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/b8bc8459f0d34aaa8c1af1328cab2432
来源：牛客网

众所周知计算机代码底层计算都是0和1的计算，牛牛知道这点之后就想使用0和1创造一个新世界！牛牛现在手里有n个0和m个1，给出牛牛可以创造的x种物品，每种物品都由一个01串表示。牛牛想知道当前手中的0和1可以最多创造出多少种物品。

输入描述:

输入数据包括x+1行：
第一行包括三个整数x(2 ≤ x ≤ 20)，n(0 ≤ n ≤ 500)，m(0 ≤ m ≤ 500)，以空格分隔
接下来的x行，每行一个01串item[i]，表示第i个物品。每个物品的长度length(1 ≤ length ≤ 50)

输出描述:

输出一个整数，表示牛牛最多能创造多少种物品

示例1

输入

3 3 1
1
00
100

输出

2

ps: 由于题意过于模糊，在次稍作解释。题目要求的是利用给定的n个0和m个1，最多可以同时得到多少种给定的字符串。对于实例，也就是用3个1和1个0可以如何组合得到{1, 00, 100}中最多的组合数，显然是1和00，也就是输出结果中的2。

状态转移方程：dp[u][v] = max(dp[u-a[i]][v-b[i]]+w[i],dp[u][v]) （u, v均采用倒序）

import java.util.*;

public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
while (sc.hasNext()) {
int x = sc.nextInt();
int n = sc.nextInt();
int m = sc.nextInt();
int[] zero = new int[x];
int[] one = new int[x];
String item;
for (int i = 0; i < x; i++) {
item = sc.next();
int cnt = 0;
for (int j = 0; j < item.length(); j++) {
if (item.charAt(j) == '0') {
cnt++;
}
}
zero[i] = cnt;
one[i] = item.length() - cnt;
}
int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
for (int i = 0; i < x; i++) {
for (int j = n; j >= zero[i]; j--) {
for (int k = m; k >= one[i]; k--) {
if (dp[j][k] < dp[j - zero[i]][k - one[i]] + 1) {
dp[j][k] = dp[j - zero[i]][k - one[i]] + 1;
}
}
}
}
System.out.println(dp
[m]);
}
}
}