排序算法——堆排序

 堆排序与快速排序，归并排序一样都是时间复杂度为O(N*logN)的几种常见排序方法。学习堆排序前，先讲解下什么是数据结构中的二叉堆。

堆排序是唯一能够同时最优地利用空间和时间的方法——在最坏的情况下也能保证使用O(N*logN)次比较和恒定的额外空间。

二叉堆的定义

二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。

二叉堆满足二个特性：

1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。

2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。下图展示一个最小堆：



由于其它几种堆（二项式堆，斐波纳契堆等）用的较少，一般将二叉堆就简称为堆。

堆的存储

一般都用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。

堆的操作——插入删除

下面先给出《数据结构C++语言描述》中最小堆的建立插入删除的图解，再给出本人的实现代码，最好是先看明白图后再去看代码。

堆的插入

每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中，对照《白话经典算法系列之二
直接插入排序的三种实现》不难写出插入一个新数据时堆的调整代码：

堆的删除

按定义，堆中每次都只能删除第0个数据。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点将一个数据的“下沉”过程。下面给出代码：

堆化数组

有了堆的插入和删除后，再考虑下如何对一个数据进行堆化操作。要一个一个的从数组中取出数据来建立堆吧，不用！先看一个数组，如下图：



很明显，对叶子结点来说，可以认为它已经是一个合法的堆了即20，60， 65， 4， 49都分别是一个合法的堆。只要从A[4]=50开始向下调整就可以了。然后再取A[3]=30，A[2] = 17，A[1] = 12，A[0] = 9分别作一次向下调整操作就可以了。下图展示了这些步骤：



至此，堆的操作就全部完成了(注1)，再来看下如何用堆这种数据结构来进行排序。

堆排序

首先可以看到堆建好之后堆中第0个数据是堆中最小的数据。取出这个数据再执行下堆的删除操作。这样堆中第0个数据又是堆中最小的数据，重复上述步骤直至堆中只有一个数据时就直接取出这个数据。

由于堆也是用数组模拟的，故堆化数组后，第一次将A[0]与A[n - 1]交换，再对A[0…n-2]重新恢复堆。第二次将A[0]与A[n – 2]交换，再对A[0…n - 3]重新恢复堆，重复这样的操作直到A[0]与A[1]交换。由于每次都是将最小的数据并入到后面的有序区间，故操作完成后整个数组就有序了。有点类似于直接选择排序。

注意使用最小堆排序后是递减数组，要得到递增数组，可以使用最大堆。

由于每次重新恢复堆的时间复杂度为O(logN)，共N - 1次重新恢复堆操作，再加上前面建立堆时N / 2次向下调整，每次调整时间复杂度也为O(logN)。二次操作时间相加还是O(N * logN)。故堆排序的时间复杂度为O(N * logN)。STL也实现了堆的相关函数，可以参阅《STL系列之四
heap 堆》。
 堆排序的两个步骤：
步骤1：对原始数组进行堆初始化

步骤2：对堆二叉树进行堆排序
附上代码：

package suanfa;

public class HeapSort {
static void heapSort(int[] k, int a)
{
int i;
//堆排序 步骤1：对原始数组进行堆初始化
for(i=a/2;i>0;i--)//i=a/2,以最后一个节点的父节点作为开始
{
heapAdjust(k,i,a);
}
//步骤2：对堆二叉树进行堆排序
for(i=a;i>1;i--)
{
exch(k,1,i);//先首尾交换，把最大值交换到最尾端
heapAdjust(k, 1, i-1);//把交换后的二叉树再进行堆初始化
}
}

private static void exch(int[] k, int i, int j) {
int temp=k[i];
k[i]=k[j];
k[j]=temp;
}

private static void heapAdjust(int[] k, int s, int n) {
int i,temp;
temp=k[s]; //把父节点的值传入temp
for(i=2*s;i<=n;i*=2)
{
if(i<n&&k[i]<k[i+1])
{
i++;//取较大的子节点的序列号
}
if(temp>=k[i])
{
break;//如果父节点大于子节点 跳出循环
}
k[s]=k[i];//如果父节点小于子节点 交换
s=i;
k[s]=temp;
}

}
public static void main(String[] args) {
int [] k={-1,5,2,6,0,3,9,1,7,4};
int a=k.length-1;
HeapSort.heapSort(k, a);
for(int i=1;i<=a;i++)
{
System.out.print(k[i]+",");
}
}
}

运行结果：0,1,2,3,4,5,6,7,9