[置顶] 《统计学习方法》 决策树 CART生成算法 回归树 Python实现

先说明一下在看《统计学习方法》Cart回归树的时候懵懵的，也没又例子。然后发现《机器学习实战》P162有讲到这个，仔细看了一下。

所以这下面是《机器学习实战》的代码，但书上没有什么原理，如果不太懂原理的话，会有点难以理解。而它的实现就是《统计学习方法》P69的算法5.5（最小二乘回归树的生成算法）。

引用《统计学习方法》P69的算法5.5

输入：训练数据集 D；

输出：回归树 f(x).

在训练数据集所在的输入空间中，递归地将每个区域划分为两个子区域并决定每个子区域上的输出值，构建二叉决策树：

(1) 选择最优切分变量 j 与切分点 s（比如选择切分向量第j维来划分，就根据这个s>特征值和<=特征值来划分成2个子集），求解

minj,s[minc1∑xi∈R1(j,s)(yi−c1)2+minc2∑xi∈R2(j,s)(yi−c2)2]

遍历变量 j，对固定的切分变量 j 扫描切分点 s

(2) 用选定的对 (j,s) 划分区域并决定相应的输出值：

R1(j,s)=x|x(j)≤s,R2(j,s)=x|x(j)>s

c^m=1Nm∑xi∈Rm(j,s)yi,x∈Rm,m=1,2

(3) 继续对两个子区域调用步骤(1),(2)，直至满足停止条件。

(4) 将输入空间分为 M 个区域 R1,R2,⋯,RM，生成决策树：

f(x)=∑Mm=1c^mI(x∈Rm)

好了，我们来看代码吧。

def loadDataSet(self, fileName):    #加载数据
dataMat = []
fr = open(fileName)
for line in fr.readlines(): #遍历每一行
curLine = line.strip().split('\t')
fltLine = map(float, curLine)   #将里面的值映射成float,否则是字符串类型的
dataMat.append(fltLine)
return dataMat

这上面是从文件中加载数据集的代码，没太多可以说的，接着看。

def regLeaf(self, dataSet): #将均值作为叶子节点
return np.mean(dataSet[:, -1]) #类别的均值

看下注释，其实就是对应上面的c^m=1Nm∑xi∈Rm(j,s)yi,x∈Rm,m=1,2这个公式了。

def regErr(self, dataSet):#计算误差
return np.var(dataSet[:, -1]) * np.shape(dataSet)[0] #方差乘以行数

你可以先看下api:numpy.var就知道了它是一个计算方差的。

var = mean(abs(x - x.mean())**2)

方差乘以行数不就是mean(abs(x - x.mean())**2)然后行数，对应minc1∑(yi−c1)2了么。

所以这个函数对应着minj,s[minc1∑xi∈R1(j,s)(yi−c1)2+minc2∑xi∈R2(j,s)(yi−c2)2].让我们乘胜逐北。

def createTree(self, dataSet, leafType=regLeaf, errType=regErr, ops=(1, 4)):
feat, val = self.chooseBestSplit(dataSet, leafType, errType, ops)
if feat == None:    return val  #说明是叶节点，直接返回均值
retTree = {}
retTree['spInd'] = feat #记录是用哪个特征作为划分
retTree['spVal'] = val  #记录是用哪个特征作为划分（以便于查找的时候，相等进入左树，不等进入右树）
lSet, rSet = self.binSplitDataSet(dataSet, feat, val)   #按返回的特征来选择划分子集
retTree['left'] = self.createTree(lSet, leafType, errType, ops) #用划分的2个子集的左子集，递归建树
retTree['right'] = self.createTree(rSet, leafType, errType, ops)
return retTree

这个就是建树的代码了，大体思想就是通过判断是否需要继续划分，如果不需要说明已经是叶节点了，返回叶节点的值；如果需要划分，则继续用递归的形式继续划分下去。继续看下如何选择最好的特征划分。

def chooseBestSplit(self, dataSet, leafType=regLeaf, errType=regErr, ops=(1, 4)):
tolS = ops[0] #容许的误差下降值
tolN = ops[1]   #划分的最少样本数
if len(set(dataSet[:, -1].T.tolist()[0])) == 1: #类标签的值都是一样的，说明没必要划分了，直接返回
return None, leafType(dataSet)
m, n = np.shape(dataSet)    #m是行数，n是列数
S = errType(self, dataSet)    #计算总体误差
bestS = np.inf  #np.inf是无穷大的意思，因为我们要找出最小的误差值，如果将这个值设得太小，遍历时很容易会将这个值当成最小的误差值了
bestIndex = 0
bestValue = 0
for featIndex in range(n-1):    #遍历每一个维度
for splitVal in set(dataSet[:,featIndex].T.A.tolist()[0]): #选出不同的特征值，进行划分,勘误：这里跟书上不一样，需修改
mat0, mat1 = self.binSplitDataSet(dataSet, featIndex, splitVal) #子集的划分
if (np.shape(mat0)[0] < tolN) or (np.shape(mat1)[0] < tolN):    #划分的两个数据子集，只要有一个小于4，就说明没必要划分
continue
newS = errType(self, mat0) + errType(self, mat1)    #计算误差
if newS < bestS:    #更新最小误差值
bestIndex = featIndex
bestValue = splitVal
bestS = newS
if (S - bestS) < tolS:  #检查新切分能否降低误差
return None, leafType(self, dataSet)
mat0, mat1 = self.binSplitDataSet(dataSet, bestIndex, bestValue)
if (np.shape(mat0)[0] < tolN) or(np.shape(mat1)[0] < tolN): #检查是否需要划分（如果两个子集的任一方小于4则没必要划分）
return None, leafType(self, dataSet)
return bestIndex, bestValue

这段代码，说白了就是上面算法（1）的步骤：

[minc1∑xi∈R1(j,s)(yi−c1)2+minc2∑xi∈R2(j,s)(yi−c2)2]

对应这个代码

newS = errType(self, mat0) + errType(self, mat1)

。

上面

for featIndex in range(n-1):

以及里面的循环，

for splitVal in set(dataSet[:,featIndex].T.A.tolist()[0]):

就是寻找最小的误差值了。

然后这里有3个条件会被判定这个集合是作为叶子节点的（好不让他继续划分下去呀）。

1、类标签的值都是一样的，说明没必要划分了，直接返回None， 叶子节点值。

2、总体误差减去最小的误差如果小于容许的误差下降值（tolS=ops[0]），直接返回None， 叶子节点值。

3、如果划分的两个子集，任一方小于4（tolN=ops[1]）个样本的话，直接返回None， 叶子节点值。

好了，测试一下。

if __name__ == '__main__':
regTree = RegressionTree()
myMat = regTree.loadDataSet('ex0.txt')
myMat = np.mat(myMat)
print regTree.createTree(myMat)

你成功了吗?

下面贴下完整的代码。

# --*-- coding:utf-8 --*--
import numpy as np

class RegressionTree:   #回归树
def loadDataSet(self, fileName):    #加载数据
dataMat = []
fr = open(fileName)
for line in fr.readlines(): #遍历每一行
curLine = line.strip().split('\t')
fltLine = map(float, curLine)   #将里面的值映射成float,否则是字符串类型的
dataMat.append(fltLine)
return dataMat

def binSplitDataSet(self, dataSet, feature, value): #按某列的特征值来划分数据集
mat0 = dataSet[np.nonzero(dataSet[:, feature] > value)[0], :]   #勘误：这里跟书上不一样，需修改
mat1 = dataSet[np.nonzero(dataSet[:, feature] <= value)[0], :]  #np.nonzero(...)[0]返回一个列表
return mat0, mat1
def regLeaf(self, dataSet): #将均值作为叶子节点
return np.mean(dataSet[:, -1])

def regErr(self, dataSet):#计算误差
return np.var(dataSet[:, -1]) * np.shape(dataSet)[0]    #方差乘以行数

def createTree(self, dataSet, leafType=regLeaf, errType=regErr, ops=(1, 4)):
feat, val = self.chooseBestSplit(dataSet, leafType, errType, ops)
if feat == None:    return val  #说明是叶节点，直接返回均值
retTree = {}
retTree['spInd'] = feat #记录是用哪个特征作为划分
retTree['spVal'] = val  #记录是用哪个特征作为划分（以便于查找的时候，相等进入左树，不等进入右树）
lSet, rSet = self.binSplitDataSet(dataSet, feat, val)   #按返回的特征来选择划分子集
retTree['left'] = self.createTree(lSet, leafType, errType, ops) #用划分的2个子集的左子集，递归建树
retTree['right'] = self.createTree(rSet, leafType, errType, ops)
return retTree

def chooseBestSplit(self, dataSet, leafType=regLeaf, errType=regErr, ops=(1, 4)):
tolS = ops[0] #容许的误差下降值
tolN = ops[1]   #划分的最少样本数
if len(set(dataSet[:, -1].T.tolist()[0])) == 1: #类标签的值都是一样的，说明没必要划分了，直接返回
return None, leafType(dataSet)
m, n = np.shape(dataSet)    #m是行数，n是列数
S = errType(self, dataSet)    #计算总体误差
bestS = np.inf  #np.inf是无穷大的意思，因为我们要找出最小的误差值，如果将这个值设得太小，遍历时很容易会将这个值当成最小的误差值了
bestIndex = 0
bestValue = 0
for featIndex in range(n-1):    #遍历每一个维度
for splitVal in set(dataSet[:,featIndex].T.A.tolist()[0]): #选出不同的特征值，进行划分,勘误：这里跟书上不一样，需修改
mat0, mat1 = self.binSplitDataSet(dataSet, featIndex, splitVal) #子集的划分
if (np.shape(mat0)[0] < tolN) or (np.shape(mat1)[0] < tolN):    #划分的两个数据子集，只要有一个小于4，就说明没必要划分
continue
newS = errType(self, mat0) + errType(self, mat1)    #计算误差
if newS < bestS:    #更新最小误差值
bestIndex = featIndex
bestValue = splitVal
bestS = newS
if (S - bestS) < tolS:  #检查新切分能否降低误差
return None, leafType(self, dataSet)
mat0, mat1 = self.binSplitDataSet(dataSet, bestIndex, bestValue)
if (np.shape(mat0)[0] < tolN) or(np.shape(mat1)[0] < tolN): #检查是否需要划分（如果两个子集的任一方小于4则没必要划分）
return None, leafType(self, dataSet)
return bestIndex, bestValue

if __name__ == '__main__':
regTree = RegressionTree()
myMat = regTree.loadDataSet('ex0.txt')
myMat = np.mat(myMat)
print regTree.createTree(myMat)
# print myMat[:, 1]
# regTree.binSplitDataSet(np.mat(np.eye(4)), 1, 0.5)
# print myMat[[1, 2], :]
# print myMat
# print np.var(myMat[:, -1]) * np.shape(myMat)[0]

print myMat[:,1].T.A.tolist()[0]