最长上升子序列问题（LIS）和最长公共子序列问题（LCS）

最长上升子序列问题：

给定n个整数A1，A2，…，An，按从左到右的顺序选出尽量多的整数，组成一个上升子序列（子序列可以理解为：删除0个或多个数，其他数的顺序不变）。例如序列1,6,2,3,7,5，可以选出上升子序列1,2,3,5，也可以1,6,7，但前者更长。选出的上升子序列中相邻元素不能相同。

【分析】

设d（i）为以i结尾的最长上升子序列列的长度，则d（i）=max{0，d（j）|j<i，Aj<Ai}+1， 最终答案是max{d（i）}。如果LIS中的相邻元素可以相等，把小于号改成等于号即可。上述算法的时间复杂度为O（n*n）；

不仅如此，还可以将算法复杂度调节到O（nlogn）

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。n

下面一步一步试着找出它。

我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。

此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。

咱们可以发现，1,3,4,7,9严格按照大小顺序排列，所以查找一个数使用二分法去查找

例题：

hdu 1950 Bridging signals

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1950

最长公共子序列问题（LCS）
给定两个子序列A和B，求长度的最大子序列；

例如1,5,2,6,8,7和2,3,5,6,9,8,4

最长公共子序列为5,6,8或者2,6,8

【分析】

设d（i，j）为A1，A2，…，Ai和B1，B2，…，Bj的LCS长度，则当A（i）=B（j）时，d（i，j）=d（i-1，j-1）+1，

否则d（i，j）=max{d（i-1，j），d（i，j-1）}，时间复杂度为O（nm），其中n和m分别为序列A和序列B的长度。