【GDOI2018模拟8.11】质数

Description：

1<=n<=10^12

题解：

看到这种题就会想这是不是反演题。

如果它是一道反演题，那它必须要有gcd来，题目中没有gcd，所以能不能变换出gcd呢。

实际上2f(x)=[gcd(i,j)=1]∗[i∗j=x],即考虑每一个p^q是给i还是给j。

Ans=∑ni=1∑j|i[gcd(j,ij)=1]

=∑ni=1∑⌊ni⌋j=1[gcd(i,j)=1]

=∑ni=1∑⌊ni⌋j=1∑d|gcd(i,j)μ(d)

=∑ni=1∑d|iμ(d)∗⌊nid⌋

=∑nd=1μ(d)∗∑⌊nd⌋i=1⌊nid2⌋

观察式子，减去不必要的循环，缩小循环范围。

=∑n√d=1μ(d)∗∑⌊nd2⌋i=1⌊nid2⌋

线筛出μ，外层暴力枚举d，μ(d) ≠ 0时再内层循环分块。

∑ni=1[μ(i)≠0]

=∑(√n)i=1μ(i)∗⌊ni2⌋

根据打表可得:

≈0.607n(n>=106)

时间复杂度证明：

T=∑n√i=1ni2−−√

=∑n√i=1n√i

≈n√ logn√2

那么就是O(0.607n√ logn√2)

Code:

#include<cstdio>
#define ll long long
#define fo(i, x, y) for(ll i = x; i <= y; i ++)
using namespace std;

const ll N = 1000000, mo = 998244353;

ll mu[N + 5], p
, n, ans, s;
bool bz[N + 5];

int main() {
mu[1] = 1;
fo(i, 2, N) {
if(!bz[i]) p[++ p[0]] = i, mu[i] = -1;
fo(j, 1, p[0]) {
ll k = i * p[j];
if(k > N) break;
bz[k] = 1;
if(i % p[j] == 0) {
mu[k] = 0;
break;
}
mu[k] = -mu[i];
}
}
scanf("%lld", &n);
for(ll d = 1; d * d <= n; d ++) if(mu[d] != 0){
ll m = n / (d * d);
s = 0;
fo(i, 1, m) {
ll j = m / (m / i);
s += (ll)(m / i) * (j - i + 1) % mo;
i = j;
}
ans += s * mu[d];
}
printf("%lld", (ans % mo + mo) % mo);
}