您的位置：首页 > 其它

2.A 张成空间与线性无关

2017-08-06 23:55 239 查看

向量组

一组向量，通常不用括号，如
$v_1,v_2,...,v_n$

线性组合

$V$
中的一组向量
$v_1,v_2,...,v_n$
的线性组合为
$a_1v_1+a_2v_2+...+a_mv_m$
的向量，其中
$a_1,a_2,...,a_m \in F$

张成空间

$V$
中的一组向量
$v_1,v_2,...,v_m$
的所有线性组合构成的集合，称为
$v_1,v_2,...,v_m$
的张成空间，记为
$span(v_1,v_2,...,v_m)$

即：

$\begin{aligned} span(v_1,...,v_m)&=\left \{ a_1v_1+...+a_mv_m:a_1,...,a_m\in F \right \}\\ span(())&=\left \{0\right \} \end{aligned}$

张成空间是包含这组向量的最小子空间

这是简写，全称为：
$V$
中的一组向量的张成空间是包含这组向量的最小子空间。

张成

如果
$span(v_1,v_2,...,v_m)$
等于
$V$
，则称为向量组张成
$V$
比如

$(1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,...,1)$
张成
$F^n:(x_1,x_2,...,x_n)=x_1(1,0,...,0)+x_2(0,1,...,0)+...+x_n(0,0,...,1)$

多项式

多项式是一种映射：
$p:F\rightarrow F$
如果

$\begin{aligned} \exists \ a_0,a_1, ...,a_m &\in F \\ used \ \forall z &\in F\\ p(z)&=a_0+a_1z+a_2z^2+,...,+a_mz^m \end{aligned}$

则称为
$p$
系数属于
$F$
的多项式

$P(F)$
是系数
$F$
的多项式集合

多项式的次数

对于多项式
$p\in P(F)$
若存在
$a_0,a_1,..,a_m \in F$
，其中
$a_m \neq 0$
，使得对于
$\forall z \in F;p(z)=a_0+a_1z+...+a_mz^m$

则说的
$p$
次数为
$m$
, 记
$\rm deg p=m$

$P_m(F):0\leq m$
表示系数
$F$
次数不超过
$m$
的所有多项式集合。它是有限维度的向量空间。

无限维度向量空间

一个向量空间如果不是有限维度的，则是无限维度的。

线性无关

$V$
中一组向量
$v_1,v_2,...,v_m$
称为线性无关，如果使得

$a_1v_1+...+a_mv_m=0;\ a_1,...,a_m\in F \ and \ a_1=...=a_m=0$

（1）一个向量线性无关，当且仅当
$v \neq 0$

（2）两个向量线性无关，当且仅当每个向量不等于另外一个向量的倍数

（3）
$1,z,z^2,...,z^m;m\geqslant 0$
线性无关

线性相关

一组向量线性无关，则线性相关。即
$v_1,v_2,...,v_m$
线性无关，当且仅当存在不全为0的
$a_1,a_2,...,a_m \in F$
使得
$a_1v_1+a_2v_m+...+a_mv_m =0$

（1）一组向量中的某个向量是其余向量的线性组合，则这个向量组是线性相关的。因此，可知。一组线性无关的向量组中任意向量都不可能由其余向量线性表示。

（2）包含0向量的向量组线性相关。因为0可以由其余向量线性表示。

证明：如果一个向量是其余向量的线性组合，那么使得
$a_1v_1+a_2v_m+...+a_mv_m =0$
成立就无需所有系数为0，证毕。

引理

$v_1,v_2,...,v_m$
是
$V$
线性无关的向量组，则有
$j\in \{1,2,...,m\}$
使得

（a）
$v_j\in \rm span(\textit v_1,...,\textit v_{j-1})$

（b）
$v_1,v_2,...,v_m$
中去掉 j 项，则剩余组成的张成空间等于
$\rm span(\textit v_1,...,\textit v_{j-1})$

换言之，存在一个向量可以有其余向量线性表示并且属于其余向量的张成空间。

线性无关组的长度小于等于张成组的长度

有限维度子空间

有限维度向量空间的子空间都是有限维度的。

附录：

本节重要的公式latex文本和url

p\in P(F)

a_0,a_1,..,a_m \in F

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\inline&space;\small&space;a_0,a_1,..,a_m&space;\in&space;F

a_m \neq 0

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\inline&space;\small&space;a_m&space;\neq&space;0

\forall z \in F;p(z)=a_0+a_1z+…+a_mz^m

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\inline&space;\small&space;\forall&space;z&space;\in&space;F;p(z)=a_0+a_1z+…+a_mz^m

\rm deg p=m

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\inline&space;\small&space;\rm&space;deg&space;p=m

P_m(F):0\leq m

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\small&space;P_m(F):0\leq&space;m

a_1v_1+…+a_mv_m=0;\ a_1,…,a_m\in F \ and \ a_1=…=a_m=0

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\small&space;a_1v_1+…+a_mv_m=0;\&space;a_1,…,a_m\in&space;F&space;\&space;and&space;\&space;a_1=…=a_m=0

v_j\in \rm span(\textit v_1,…,\textit v_{j-1})

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\small&space;\rm&space;span(\textit&space;v_1,…,\textit&space;v_{j-1})

内容来自用户分享和网络整理，不保证内容的准确性，如有侵权内容，可联系管理员处理

标签： 线性无关线性相关张成空间多项式

相关文章推荐

新的分享

章节导航