BZOJ 4503: 两个串 FFT 通配符匹配

4503: 两个串

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Description

兔子们在玩两个串的游戏。给定两个字符串S和T，兔子们想知道T在S中出现了几次，
分别在哪些位置出现。注意T中可能有“?”字符，这个字符可以匹配任何字符。

Input

两行两个字符串，分别代表S和T

Output

第一行一个正整数k，表示T在S中出现了几次
接下来k行正整数，分别代表T每次在S中出现的开始位置。按照从小到大的顺序输出，S下标从0开始。

Sample Input

bbabaababaaaaabaaaaaaaabaaabbbabaaabbabaabbbbabbbbbbabbaabbbababababbbbbbaaabaaabbbbbaabbbaabbbbabab

a?aba?abba

Sample Output

0

HINT

S 长度不超过 10^5， T 长度不会超过 S。 S 中只包含小写字母， T中只包含小写字母和“?”

不考虑通配符


这样如果s1和s2相等当且仅当f[x]=0

考虑有通配符的情况，把通配符的位置s2[i]=0

然后变换一下公式可得:


这个时候我们就可以利用FFT求卷积得到答案

如果没有理解呢~

来说一说卷积

括弧：资料来自[笔记]ACM笔记 - 利用FFT求卷积（求多项式乘法）

给定向量：a=(a0,a1,...,an−1)，b=(b0,b1,...,bn−1)

向量和：a+b=(a0+b0,a1+b1,...,an−1+bn−1) 
数量积（内积、点积）：a⋅b=a0b0+a1b1+...+an−1bn−1
卷积：a⊗b=(c0,c1,...,c2n−2)，其中ck=∑i+j=k(aibj)

例如：cn−1=a0bn−1+a1bn−2+...+an−2b1+an−1b0

卷积的最典型的应用就是多项式乘法（多项式乘法就是求卷积）。
说一说FFT求卷积

普通的计算多项式乘法的计算，时间复杂度O(n2)。而FFT先将多项式点值表示（O(nlogn)），在O(n)下完成对点值的乘法，再以O(nlogn)完成IFFT，重新得到系数表示。

在两个多项式前面补0，得到两个2n次多项式，设系数向量分别为v1和v2。

使用FFT计算f1=DFT(v1)和f2=DFT(v2)。则f1与f2为两个多项式在2n次单位根处的取值（即点值表示）。

把f1与f2每一维对应相乘，得到f，代表对应输入多项式乘积的点值表示。

使用IFFT计算v=IDFT(f)，其中v就是乘积的系数向量。

a⊗b=IDFT2n(DFT2n(a)⋅DFT2n(b))，即：a⊗b=DFT−12n(DFT2n(a)⋅DFT2n(b))

这时我们再回过头来想题

只要把T串翻转，求一遍卷积，再扫一遍就好啦！

#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<complex>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<string>
#include<bitset>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#define pi acos(-1)
using namespace std;

typedef double db;

inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch<='9'&&ch>='0'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
void print(int x)
{if(x<0)putchar('-'),x=-x;if(x>=10)print(x/10);putchar(x%10+'0');}

const int N=140100;

complex<db>a
,b
,A
,B
,p
;

int r
;

void fft(complex<db> x[],int n,int t)
{
register int i,j,k,m;
for(i=0;i<n;++i)if(i<r[i])swap(x[i],x[r[i]]);
for(m=2;m<=n;m<<=1)
{
complex<db> wn(cos(2*pi*t/m),sin(2*pi*t/m));
for(i=0;i<n;i+=m)
{
complex<db> w(1,0),temp;k=m>>1;
for(j=0;j<k;++j,w*=wn)
{
temp=x[i+j+k]*w;
x[i+j+k]=x[i+j]-temp;
x[i+j]+=temp;
}
}
}
}

char s
;

int st
;

int main()
{
int n,len1,len2;
register int i,j;
scanf("%s",s);n=len1=strlen(s);for(i=0;i<len1;++i)a[i]=s[i]-'?';
scanf("%s",s+1);len2=strlen(s+1);for(i=0;i<len2;++i)b[i]=s[len2-i]-'?';
for(i=1,j=n;(i>>1)<j;i<<=1)n=i;
for(i=0;i<n;++i)r[i]=(i&1)*(n>>1)+(r[i>>1]>>1);
for(i=0;i<n;++i)B[i]=b[i]*b[i]*b[i];
for(i=0;i<n;++i)A[i]=1;
fft(A,n,1);fft(B,n,1);
for(i=0;i<n;++i)p[i]=A[i]*B[i];

for(i=0;i<n;++i)B[i]=b[i]*b[i];
for(i=0;i<n;++i)A[i]=complex<db>(2,0)*a[i];
fft(A,n,1);fft(B,n,1);
for(i=0;i<n;++i)p[i]-=A[i]*B[i];

for(i=0;i<n;++i)B[i]=b[i];
for(i=0;i<n;++i)A[i]=a[i]*a[i];
fft(A,n,1);fft(B,n,1);
for(i=0;i<n;++i)p[i]+=A[i]*B[i];

fft(p,n,-1);
for(i=0,j=0;i<=len1-len2;++i)if(p[i+len2-1].real()-0.5<0)st[++j]=i;
print(j);puts("");
for(i=1;i<=j;++i)print(st[i]),puts("");
return 0;
}
/*
bbabaababaaaaabaaaaaaaabaaabbbabaaabbabaabbbbabbbbbbabbaabbbababababbbbbbaaabaaabbbbbaabbbaabbbbabab
a?aba?abba

0
*/