【最小生成树】Prim算法和Kruskal算法

一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。简单来说就是假如有10个点，你可以用9条线把这10个点连起来，不漏掉任何一个点，然后这9条边的权值最小，就是**最小生成树**了，就是用*小于顶点个数-1的边*，连接所有点，权值最小。

最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或Prim（普里姆）算法求出。

Prim算法和Kruskal算法都是基于下述性质：如果（u，v）是图中权值最小的边，则最小生成树中必包含此边。Kruskal算法是针对边来说的，而Prime算法是针对顶点的。
分析Prim算法，该算法由两个并列的循环组成，第一个循环次数为vex_num(即顶点的个数n)；第二个循环，外层循环的次数为n-1，内层的循环次数为n。所以总体来说，Prim的时间复杂度为O（n2），并且该算法与图中边数的多少无关，所以该算法适合于求边稠密的图的最小生成树。是一种贪心算法 。
Kruskal算法：将图各边按照权值进行排序，之后每次选择一条边，要注意边不能构成回路。

图中节点的存储

struct edge{

int u,v,w; //边的顶点，权值

}edges[10];

节点权值排序函数

qsort(edges, m, sizeof(edge), cmp)

合并两个节点函数

void merge(int a,int b)

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int parent[10];
int n,m,num,sumWeight;
int i,j;

struct edge{
int u,v,w; //边的顶点，权值
}edges[10];

//初始化并查集
void UFset(){
for(i=1; i<=n; i++) parent[i] = -1;
}

//查找i的根
int find(int x)
{
if(x!=parent[x])
parent[x]=find(parent[x]);
else return parent[x];
}
//合并两个元素a,b
void join(int x,int y)
{
int fx=find(x);
int fy=find(y);
if(fx!=fy)
{
parent[fx]=fy;
printf("加入边：%d %d,权值： %d\n", x,y,edges[i].w);
sumWeight += edges[i].w;
num ++;
}
}

void kruskal(){
sumWeight = 0;
num = 0;
int u,v;
UFset();
for(i=0; i<m; i++)
{
u = edges[i].u;
v = edges[i].v;
join(u,v);
if(num==n-1)
{
printf("最小生成树的权值之和为：%d \n", sumWeight);
break;
}
}
}

//比较函数，用户排序
bool cmp(edge a,edge b)
{
return a.w<b.w;
}

int main() {

scanf("%d %d", &n, &m);
for(i=0; i<m; i++){
scanf("%d %d %d", &edges[i].u,  &edges[i].v,  &edges[i].w);
}
sort(edges,edges+m,cmp);
kruskal();
}
/*
测试数据：
6 10
1 2 6
1 3 1
1 4 5
2 3 5
2 5 3
3 4 5
3 5 6
3 6 4
4 6 2
5 6 6
*/