#bzoj2933#【重庆市NOIP模拟赛】数据(DP线段树优化 or DP堆优化 + 证明)
2017-07-24 21:30
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2933: 【重庆市NOIP模拟赛】数据
时间限制:1 Sec 内存限制:128 MB题目描述
Mr_H 出了一道信息学竞赛题,就是给 n 个数排序。输入格式是这样的:试题有若干组数据。每组数据的第一个是一个整数 n,表示总共有 n 个数待排序;接下来 n 个整数,分别表示这 n 个待排序的数。
例如:3 4 2 –1 4 1 2 3 4,就表示有两组数据。第一组有 3 个数(4,2,-1),第二组有 4个数(1,2,3,4)。可是现在 Mr_H 做的输入数据出了一些问题。例如:2 1 9 3 2 按理说第一组
数据有 2 个数(1,9),第二组数据有 3 个数,可是“3”后面并没有出现三个数,只出现了一个数“2”而已!
现在 Mr_H 需要对数据进行修改,改动中“一步”的含义是对文件中的某一个数+1 或-1,写个程序,计算最少需要多少步才能将数据改得合法。
输入
第一行一个整数 m,表示 Mr_H 做的输入数据包含的整数个数。第二行包含 m 个整数 a[i],每个整数的绝对值不超过 10000。输出
一个整数,表示把数据修改为合法的情况下,最少需要多少步。样例输入
4 1 9 3 2
样例输出
2
提示
对于 20%的数据,m<=10, |a[i]|<=5;对于 60%的数据,m<=5000, |a[i]|<=10000
对于 100%的数据,m<=100000, |a[i]|<=10000
定义Dp[i]表示以i为最后一组的结尾,合法的最小更改次数
Dp[ i ] = Dp[ j ] + abs( A[j + 1] - (i - j - 1) );
Dp[ i ] = (Dp[ j ] + A[j + 1] + j) - (i - 1);(A[j + 1] + j >= i - 1)
Dp[ i ] = (Dp[ j ] - A[j + 1] - j) + (i - 1);(A[j
+ 1] + j <= i - 1)
考虑用线段树优化或者堆优化。
先说线段树吧,好理解。
build两棵线段树。
就是在[1, A[j + 1] + j]中找一个最小的Dp[j] + A[j + 1] + j
在[A[j + 1] + j, N]中找一个最小的Dp[j] - A[j + 1] - j
然后通过上面的公式算出来之后取min
下标可以离散化也可以不离散化,都可以A。
再说堆优化,有两种堆优化,一种是两个堆的,一种是一个堆的。
首先是一个堆的,将DP变化为:
Dp[i] = Dp[j] + (A[j + 1] + j + 1) - i;(A[j + 1] + j + 1 >= i)
Dp[i] = Dp[j] - (A[j + 1] + j + 1) + i;(A[j + 1] + j + 1 <= i)
用一个堆,维护Dp[j] + A[j + 1] + j + 1最小,
将堆根里A[j + 1] + j + 1 < i的弹出,并记录下最小的
minnum = Q.top().val - Q.top().pos * 2 = Dp[j] + (A[j + 1] + j + 1) - 2 * (A[j + 1] + j + 1) = Dp[j] - (A[j + 1] + j + 1);
看起来似乎没有将所有的满足A[j + 1] + j + 1 < i的Dp[j] + .....的值都拿出来比较,会不会得出的值并不一定是当前的最小值呢?
(感觉好像被压在下面没有弹出来,感觉可能由这个k转移出来的Dp[i]的值更优,因为堆里是Dp[k] + A[k + 1] + k + 1最小,而这时的k的转移是Dp[i] = Dp[k] - (A[k + 1] + k + 1) + i,似乎会漏情况)
这个并不影响最后的结果,因为会有更优的代替,证明如下:
假设现在j为堆根,k在堆下面,而k是满足A[k + 1] + k + 1 < i的
已知:Dp[j] + A[j + 1] + j + 1 <= Dp[k] + A[k + 1] + k + 1
且 A[j + 1] + j + 1 >= i(令其为a),A[k + 1] + k + 1(令其为b) < i
移项得 : Dp[j] + a <= Dp[k] + b
Dp[j] - Dp[k] + a <= b ③
证明转移后的Dp[i],由j转会比k转更优。
由j转Dp[i]:Dp[j] + A[j + 1] + j + 1 - i = Dp[j] + a - i ①
由k转Dp[i]:Dp[k] - A[k + 1] - k - 1 + i= Dp[k] - b + i ②
① - ②:
Dp[j] - Dp[k] + a + b - 2 * i
由③:
Dp[j] - Dp[k] + a + b <= 2 * b
因为 b < i
所以b * 2 - 2 * i < 0
即由j转移得到的Dp[i] < 由k转移得到的Dp[i]
证毕,所以k即使被压在下面,也不影响最后的最优结果。
处理第二种情况Dp[i] = minnum + i;
注意,之前的都是Dp[j] - (A[j + 1] + j + 1)的情况,所以实际上是最小的,而因为i在增大,所以只可能向堆中放入更多的j,而之前的j将一直满足条件,所以放在minnum中。
弹出后仍留在堆根的Dp[j] + A[j + 1] + j + 1是当前满足第一式的最小值,所以处理第一式。
然后更新堆,完毕。
两个堆的优化等我搞清楚了再来写。
Code:
一个堆版本:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<algorithm> #include<queue> using namespace std; const int Max = 100000; const int INF = 0x3f3f3f3f; struct node{ int val, pos; node(){} node(int a, int b){ val = a, pos = b;} bool operator < (const node & X) const{ return val > X.val; } }; int N; int A[Max + 5], Dp[Max + 5]; priority_queue<node>Q; bool getint(int & num){ char c; int flg = 1; num = 0; while((c = getchar()) < '0' || c > '9'){ if(c == '-') flg = -1; if(c == -1) return 0; } while(c >= '0' && c <= '9' ){ num = num * 10 + c - 48; if((c = getchar()) == -1) return 0; } num *= flg; return 1; } int main(){ //freopen("data.in", "r", stdin); //freopen("data.out", "w", stdout); getint(N); for(int i = 1; i <= N; ++ i) getint(A[i - 1]), A[i - 1] += i; Q.push(node(A[0], A[0])); memset(Dp, 0x3f, sizeof Dp ); int minnum = INF; for(int i = 1; i <= N; ++ i){ while(! Q.empty() && Q.top().pos < i){ minnum = min(minnum, Q.top().val - 2 * Q.top().pos); Q.pop(); e304 } Dp[i] = min(Dp[i], minnum + i); if(! Q.empty()) Dp[i] = min(Dp[i], Q.top().val - i); Q.push(node(Dp[i] + A[i], A[i])); } printf("%d\n", Dp ); return 0; }
线段树版本:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<algorithm> #include<queue> using namespace std; const int Max = 100000; const int INF = 0x3f3f3f3f; struct node{ int l, r; int val; }Tr[2][(Max << 4) + 5]; int N; int A[Max + 5], B[Max + 5], Dp[Max + 5]; bool getint(int & num){ char c; int flg = 1; num = 0; while((c = getchar()) < '0' || c > '9'){ if(c == '-') flg = -1; } while(c >= '0' && c <= '9' ){ num = num * 10 + c - 48; c = getchar(); } num *= flg; return 1; } void build(int i, int l, int r, bool flg){ Tr[flg][i].l = l, Tr[flg][i].r = r; Tr[flg][i].val = INF; if(l == r) return ; int mid = (l + r) >> 1; build(i << 1, l, mid, flg); build(i << 1 | 1, mid + 1, r, flg); } void Insert(int i, int pos, bool flg, int val){ if(pos > Tr[flg][i].r || pos < Tr[flg][i].l) return ; if(pos == Tr[flg][i].l && Tr[flg][i].r == pos){ Tr[flg][i].val = min(val, Tr[flg][i].val); return ; } Insert(i << 1, pos, flg, val); Insert(i << 1 | 1, pos, flg, val); Tr[flg][i].val = min(Tr[flg][i << 1].val, Tr[flg][i << 1 | 1].val); } int minnum; int Get_min(int i, int l ,int r, bool flg){ if(r < Tr[flg][i].l || l > Tr[flg][i].r) return minnum = INF; if(l <= Tr[flg][i].l && r >= Tr[flg][i].r) return minnum = Tr[flg][i].val; return minnum = min(Get_min(i << 1, l, r, flg), Get_min(i << 1 | 1, l, r, flg)); } int main(){ getint(N); for(int i = 1; i <= N; ++ i) getint(A[i]), B[i] = A[i] + i - 1; sort(B + 1, B + 1 + N); int len = unique(B + 1, B + 1 + N) - B - 1; int pos = lower_bound(B + 1, B + 1 + len, A[1]) - B, p; build(1, 1, len, 0); build(1, 1, len, 1); Insert(1, pos, 0, -A[1]);//Dp[i] = (Dp[j] - A[j + 1] - j) + i - 1 Insert(1, pos, 1, A[1]);//Dp[i] = (Dp[j] + A[j + 1] + j) - (i - 1) for(int i = 1; i <= N; ++ i){ pos = lower_bound(B + 1, B + 1 + len, i - 1) - B; if(B[pos] > i - 1) p = pos - 1; else p = pos; Dp[i] = Get_min(1, 1, p, 0) + i - 1; Dp[i] = min(Dp[i], Get_min(1, pos, len, 1) - (i - 1)); pos = lower_bound(B + 1, B + 1 + len, A[i + 1] + i) - B; Insert(1, pos, 0, Dp[i] - A[i + 1] - i); Insert(1, pos, 1, Dp[i] + A[i + 1] + i); } printf("%d\n", Dp ); return 0; }
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