漫步最优化十八——点到集合的映射

疲倦的时候，有个人会陪你；

孤单的时候，有个人会想你。

我的小宝贝啊，

好想捏捏你的笑脸，

让你知道你是最美的。

——畅宝宝的傻逼哥哥

上篇博文中，我们将算法看成点到点的映射，对任意点xk，对应唯一的点xk+1。实际上，如果在某台电脑上实现某个算法，会存在问题。因为不同的人实现的方式不同，由于计算机四舍五入的误差，可能结果会不一样，因此将算法看成点到集合的映射是比较合适的。如果能够推导出算法的通用性质，那么对算法所有可能的实现都能满足。出于这个原因，后面的文章我们会用下面更加通用的算法定义。

定义1：对空间X上的每个点x∈X都分配一个X的子集，这样的算法是点到集合的映射。

根据这个定义，算法A产生序列{xk}∞k的方式是给任意初始点x0∈X分配一个X的子集X1，然后任意选择x1∈X1，给它分配集合X2⊂X，如此进行下去，如图1所示。xk+1,xk之间的对应规则形式为

xk+1∈A(xk)

其中如果xk是输入，那么A(xk)是所有可能输出构成的集合。

显然，上面的定义包含了算法所有可能的实现，它是基于相同数学结构的一类算法，我们可以用

xk+1=A(xk)+εq

来可视化点对集合算法的概念，其中εq是随机向量。因为定量误差取决于使用的算数运算以及所用计算机的精度，所以xk+1的精确位置是未知的，但不管怎样，xk+1是X某个小集合的元素。



图1