两种方式从列向量看矩阵

提前概念

1.线性变换须保证

直线仍然是直线

原点位置固定不变

2. 向量本身是客观存在的，我们为了便于描述，引入坐标系(坐标系可以各种各样)

线性变换分两种情况

第一种

向量本身客观存在，在变换的过程中，只是坐标系或说是空间发生变换，而向量本身并没有发生任何的变换。即同一个向量在不同的坐标系中进行不同的表达。

第二种

向量随着空间的变换发生客观上的变换，但始终与所在的线性空间的基向量保持恒定的关系。

两种情况对应的变换矩阵(简单、重点)

第一种 (坐标系中坐标轴旋转或者伸缩)

原空间的坐标系中的基向量在新的空间中重新表达，按列向量的方式组合形成一个矩阵M, M即为变换矩阵。即

(1) 任意选择一个客观存在的向量T



(2) 引入第一个坐标系A，坐标系A的基向量为

。现在我们将向量T在坐标系A之下进行表达，得到



(3) 引入第二个坐标系B， 坐标系B的基向量为

。

(4) 现在我们遵循“原空间的坐标系中的基向量在新的空间中重新表达，按列向量的方式组合形成一个矩阵M。”，即





进一步得到变换矩阵，即



(5)



(6)



第二种 (对线性空间的操纵)

整个线性空间的变换，线性空间的所有都进行统一的变换。

新的空间的基向量在原空间中的表达，按列向量的方式组合形成一个矩阵M。

(1) 引入第一个坐标系(空间)A，坐标系A的基向量为

。取该坐标系下的任一向量，即



(2) 引入第二个坐标系B， 坐标系B的基向量为

。坐标系A下的任一向量变换到坐标系B下，系数不会发生变换，即向量和基向量之间的关系恒定。即有



(3) 遵循 “新的空间的基向量在原空间中的表达，按列向量的方式组合形成一个矩阵M。”，即





从而

分别讨论两种变换

第一种

相似矩阵(Similar Matrix )中的本质思想和第一种情况完全符合。即相似矩阵A,B本质上对向量进行同样的操作，但因为在不同的空间下，A，B的表示不一样。

只是坐标系发生变换。

PCA中的投影思想(针对的是行向量)，但也是向量本质上不发生变换，只是切换空间。

第二种

线性变换，对向量进行拉伸、旋转。是对线性空间的操纵。

2017年7月20日 18:46:25 By Jack Lu