从八皇后问题到2n皇后问题

八皇后问题

在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法

（方法：递归+回溯）

#include <iostream>
using namespace std;
int queen[9];//表示每一行皇后的位置，如：queen[2]=4，表示第2列第4行有一个皇后
int Count = 0;//记录解的个数
int canplace(int row,int col)//判断该位置是否可以放皇后
{
int k;
for(k=1;k<row;k++)
{
if(queen[k]==col||abs(k-row)==abs(queen[k]-col))//通过斜率判断是否在对角线上
return 0;
}
return 1;
}

void setqueen(int n)//放置皇后
{
int i;
if(n==9)//把递归结束的条件设置到搜索的最后一步，就可以借用递归的特性来回溯。因为合法的递归调用总是要回到它的上一层调用的，那么在回溯搜索中，回到上一层调用就是回到了前一个步骤
{
Count++;
cout<<"第"<<Count<<"种情况"<<endl;
for(i=1;i<9;i++)
{
cout<<queen[i];
}
cout<<endl;
}
else
{
for(i=1;i<9;i++)//循环列位置
{
if(canplace(n,i))
{
queen
=i;
setqueen(n+1);
}
}
}
}
int main()
{
setqueen(1);
return 0;
}

Output

第1种情况

15863724

第2种情况

16837425

第3种情况

17468253

······

第92种情况

84136275

2n皇后问题

问题描述

　　给定一个n*n的棋盘，棋盘中有一些位置不能放皇后。现在要向棋盘中放入n个黑皇后和n个白皇后，使任意的两个黑皇后都不在同一行、同一列或同一条对角线上，任意的两个白皇后都不在同一行、同一列或同一条对角线上。问总共有多少种放法？n小于等于8。

输入格式

　　输入的第一行为一个整数n，表示棋盘的大小。

　　接下来n行，每行n个0或1的整数，如果一个整数为1，表示对应的位置可以放皇后，如果一个整数为0，表示对应的位置不可以放皇后。

输出格式

　　输出一个整数，表示总共有多少种放法。

样例输入

4

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

样例输出

2

样例输入

4

1 0 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

样例输出

0

#include <iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int Count=0;//记录解法个数
int chess[9][9];//二维数组记录棋盘的情况，1能放，0不能放
int whitequeen[9],blackqueen[9];//存放黑、白皇后每一行的位置
int canplacewhite(int row,int col,int n)//判断是否能放白皇后
{
int i;
if(chess[row][col]==0)
return 0;
else
{
for(i=1;i<row;i++)
{
if(whitequeen[i]==col||abs(i-row)==abs(whitequeen[i]-col))
return 0;
}
return 1;
}
}
int canplaceblack(int row,int col,int n)//判断是否能放黑皇后
{
int i;
if(chess[row][col]==0||whitequeen[row]==col)//此处多了一个判断条件，即黑白皇后不能重叠放置
return 0;
else
{
for(i=1;i<row;i++)
{
if(blackqueen[i]==col||abs(i-row)==abs(blackqueen[i]-col))
return 0;
}
return 1;
}
}

void SetblackQueen(int row,int n)//放置黑皇后
{
int k;
if(row>n)//2n个皇后均放置完毕
{
Count++;
}
else
{
for(k=1;k<=n;k++)
{
if(canplaceblack(row,k,n))
{
blackqueen[row]=k;
SetblackQueen(row+1,n);//递归
}
}
}
}
void SetwhiteQueen(int row,int n)
{
int k;
if(row>n)//n个白皇后已放完，开始放黑皇后
{
SetblackQueen(1,n);
}
else
{
for(k=1;k<=n;k++)
{
if(canplacewhite(row,k,n))
{
whitequeen[row]=k;
SetwhiteQueen(row+1,n);
}
}
}
}
int main()
{
int n,r,l;
cin>>n;
for(r=1;r<=n;r++)
{
for(l=1;l<=n;l++)
{
cin>>chess[r][l];
}
}
SetwhiteQueen(1,n);
cout<<Count<<endl;
return 0;
}

解题关键：

1.用一维数组存放皇后的位置，数组中第i个元素的值代表第i行的皇后位置，回溯后可自动变换位置。若用二维数组，回溯到上一行时还需将本行皇后位置清除（即标记为1）

2.递归思想的运用。把递归结束的条件设置到搜索的最后一步，借用递归的特性来回溯。因为合法的递归调用总是要回到它的上一层调用的，那么在回溯搜索中，回到上一层调用就是回到了前一个步骤。