一起lintcode ------- 二分查找看这篇就够了

九章算法二分查找部分的ladder，前后刷了3,4遍（因为靠前，所以它被刷的次数最多了。）下面也该总结下了。本帖主要包括两方面的内容，一就是二分查找模板，二就是如何结合具体题型来使用二分查找模板。
一.从一个模板谈二分查找
这个模板是上九章算法课程中学到，对于解决问题实战性很强。模板如下：

例如 lintcode 中的 Classical Binary Search

def findPosition(self, A, target):
# Write your code here
if(len(A) == 0):
return -1
start = 0
end = len(A) - 1
#留空
while(start + 1 < end):
mid = start + (end - start) / 2
if(A[mid] == target):
return mid
if(A[mid] < target):
start = mid
else:
end = mid
#二次判定
if (A[start] == target):
return start
if (A[end] == target):
return end
return -1

与传统的二分查找相比，该方法的最大差别就是不在while中就直接确定出最优解，而是通过 start + 1 < end, 保留两个可能的情况，然后再进行判定。

这种方式的好处是增加了算法的适用性，减少出错。
二、二分查找相关问题分类
1.找最前，最后位置，或者区间
例如：Last Position of Target, First Position of Target, Search for a Range

这类问题通常是排序好的数组中存在重复的元素。那么只需对模板进行很小的改动就可以。这里面注意的点，就是求解完mid后，接下来怎么处理。特别是找mid这一刀切到的位置刚好和target相同怎么办。如果是求最前面，则需要让end = target。 因为这样会使下一轮的区间位于相对靠前的位置。同理，对于找靠后的位置，只需要让start = mid 即可。同时，在最后二次判定的时候我们也应该采用相同的道理，如果如果为了找靠前则先判断start，如果找靠后则先判断end。
注意：Closest Number in Sorted Array 这里找最接近位置问题，也可以采用这种方法. 只是在最后增加了判断，start和end谁靠近target就可以了。
2.Rotated Array 相关问题
例如： Find Minimum in Rotated Sorted Array，

def findMin(self, num):
# write your code here
if (len(num) <= 1):
return num
start = 0
end = len(num) - 1
start_value = num[0]
end_value = num[end]

while(start + 1 < end):
mid = start + (end - start) / 2
if (num[mid]> start_value):
start = mid
elif(num[mid] < end_value):
end = mid
result = 0
if (num[start] < num[end]):
result = num[start]
else:
result = num[end]
result = min(min(result,start_value ), end_value)
return result

这题只需要讨论切下去那一刀的位置，相对于旋转点的关系即可。而这个位置可以通过这个旋转后的array 起始点和重点的位置判断。 以为需要注意的情况，是如果序列没有旋转，以及倒序的情况。这两种情况，可在尾部进行判断
Search in Rotated Sorted Array

def search(self, A, target):
# write your code here
if (len(A) == 0):
return -1
start = 0
end = len(A) - 1
start_value = A[start]
end_value = A[end]
while(start + 1 < end):
mid = start + (end - start) / 2
if (target > start_value):
if (A[mid] > start_value and A[mid] < target):
start = mid
else:
end = mid
else:
if (A[mid] > target and A[mid] < end_value):
end = mid
else:
start = mid
if (A[start] == target):
return start
if (A[end] == target):
return end
return -1

这个问题相对要复杂些，因为不是找最小值，而是找一个具体的目标值，因此要分两大类，共四小类分别讨论。两大类是指target在旋转点左边，和在右边的情况。以及在这两种情况下切分点在target左边和右边的情况。
3.其他技巧
技巧一，利用数据的特殊性，二维一维转换

例如： Search a 2D Matrix Search a 2D Matrix II
需要利用题目给出数据的排序特征，将矩阵拉长，并借用取余数和整除来确定所对应的二维坐标。代码如下：
技巧二，对中点所对应的值进行抽象和变化
这里中点所对应的值变成了一个复杂的函数，往往需要通过一个helper函数来实现。不过整体框架是一致的。例如：wood cut

def woodCut(self, L, k):
# write your code here
if (len(L) == 0):
return 0
max_value = L[0]
for item in L:
max_value = max(max_value, item)

start = 0
end = max_value
while(start + 1 < end):
mid = start + (end - start) / 2
if (self.cutable(mid, L, k)):
start = mid
else:
end = mid

if (self.cutable(end, L, k)):
return end
return start

def cutable(self, value, L, k):
cout = 0
for item in L:
cout += item / value
return cout >= k

技巧三，大数据查询的倍增法
该方法是不知道数据长度的情况下，为了快速查找target，先通过倍增的方式来确定查找范围，再进行二分查找，这与STL vector容量的倍增如出一辙。

对应题目Search in a Big Sorted Array
from： http://community.bittiger.io/topic/241/%E4%B8%80%E8%B5%B7lintcode-%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9F%A5%E6%89%BE%E7%9C%8B%E8%BF%99%E7%AF%87%E5%B0%B1%E5%A4%9F%E4%BA%86/2