树状数组知识入门

树状数组(Binary Indexed Tree(BIT), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改。

如百度上所讲 ：在解题过程中，我们有时需要维护一个数组的前缀和 S[i]=A[1]+A[2]+…+A[i]。但是不难发现，如果我们修改了任意一个 A[i],S[i]、 S[i+1]…S
都会发生变化。可以说，每次修改 A[i]后，调整前缀和 S 在最坏情况下会需要 O(n)的时间。当 n 非常大时，程序会运行得非常缓慢。因此，这里我们引入“树状数组”，它的修改与求和都是 O(logn)的，效率非常高。

具体如下图



令这棵树的结点编号为C1，C2…Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：

C1 = A1

C2 = A1 + A2

C3 = A3

C4 = A1 + A2 + A3 + A4

C5 = A5

C6 = A5 + A6

C7 = A7

C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

…

C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

这个规律是怎么实现的呢？

这里有一个有趣的性质：

设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，

所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + … + An

用最小幂 2^k建立树状数组c、并且能进行更新元素值、子序列求和等。对于这个最小幂 2^k（k为x二进制末尾0的个数）

算这个2^k有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：

int lowerbit(int x)

{

return x&(x^(x–1));

}

利用机器补码特性，也可以写成：

int lowerbit(int x)

{

return x&-x;

}

对树的维护代码，也就是对原有数据进行修改

void add(int k,int num)  //从k改变 k后存储的数组的和也要改变
{
while(k<=n)
{
tree[k]+=num;
k+=lowbit(k);
}
}

有了上面的基础，求和就比较简单了。比如求0001～0110的和就直接c[0100]+c[0110]，分析方法与上面的恰好逆过来，而且写法也是逆过来的：

int read(int k)//1~k的区间和
{
int sum=0;
while(k)
{
sum+=tree[k];
k-=k&-k;
}
return sum;
}

数组和的初始计算，通过lowbit计算出树状数值。

void initsum()
{
for(int i=n;i>=1;i--)
{
int num=0;
for(int j=i-lowbit(i)+1;j<=i;j++)
num+=t[j];
t[i]=num;
}
}